En el pizarrón están escritos los $99$ números $1,2,3,\ldots ,98,99$. Hay que pintar $50$ de ellos de manera tal que la suma de dos números pintados nunca sea igual a $99$ ni a $100$. ¿De cuántas maneras se puede hacer?
En un tablero de $1\times99$ escribamos en cada casilla los números del $1$ al $99$ de la siguiente forma:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 99 & 1 & 98 & 2 & 97 & 3 & \dots & 47 & 52 & 48 & 51 & 49 & 50 \\ \hline \end{array}$$
De esta manera cada casilla con el número $n$ tiene como vecinas a las casillas con los números $100-n$ y/o $99-n$. Si pintamos las casillas con los números que pintamos, hay que pintar $50$ casillas de modo que no haya dos que sean vecinas, ya que sino su suma daría $100$ o $99$. Hay solo una manera de hacer esto, y es pintando las casillas con los números del $50$ al $99$.
Sabemos que para que ningún conjunto de $2$ elementos de los pintados sumen $100$ no debe haber ninguno de la forma $(100-k,k)$ y si empezamos a analizar los casos sabemos que $100-k$ va bajando de a $1$ y $k$ va subiendo de a $1$ (O sea $100-k$ y $k$ son inversamente proporcionales) Luego el máximo caso es si $k=49$ para que $100-k=51$ por lo que necesariamente los números desde $51$ hasta $100$ estarán pintados. Y pasa lo mismo con la suma de $99$, que el conjunto no podrá ser $(99-k,k)$ entonces como el máximo caso es $k=49$ para que $99-k=50$. Entonces o debemos pintar $49$ o debemos pintar $50$; pero es claro que no pintaremos $49$ porque nos rompería la condición el conjunto $(51,49)$ por lo que el numero pintado necesariamente será $50$ y esto nos deja con $1$ solo caso, que seria nuestra respuesta.