Mili tiene $7$ tarjetas con un número en cada una, como en la figura:
Ella quiere formar con $5$ de estas tarjetas un número de $5$ dígitos. ¿De cuántas maneras lo puede hacer?
N2 P5.png
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Para este tipo de problemas donde nos piden contar algo suele ser útil partir el problema en partes más sencillas y resolver cada una por separado. Primero armemos todos los posibles grupitos de cinco dígitos:
$(1,1,1,3,3), (1,1,1,3,5), (1,1,1,3,7), (1,1,1,5,7), (1,1,3,3,5), (1,1,3,3,7), (1,1,3,5,7), (1,3,3,5,7)$.
Ahora si, calculamos cada grupito por separado:
El primer grupito se puede ordenar de $\frac{5!}{3!2!}=10$ formas
Notamos que el segundo, tercer y cuarto grupo comparten la misma estructura: tres elementos iguales, y dos elementos más distintos entre sí y distintos a los del primer tipo. Luego cada grupo se puede ordenar de $\frac{5!}{3!}=20$, pero son tres grupitos por lo que obtenemos $60$.
Notamos que el quinto y el sexto grupo comparten la misma estructura: dos elementos iguales, otros dos elementos iguales y un elemento distinto a todos los demás. Cada grupo se puede ordenar de $\frac{5!}{2!2!}=30$, pero son dos grupitos por lo que obtenemos $60$.
Notamos que el séptimo y el octavo grupo comparten la misma estructura, dos elementos iguales y tres elementos más distintos entre sí y distintos al primer tipo. Cada grupo se puede ordenar de $\frac{5!}{2!}=60$, pero son dos grupitos por lo que obtenemos $120$.
Luego, Mili puede formar $10+60+60+120=250$ números distintos $\blacksquare$
