OMEO 2020 NC P1

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Sandy

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OMEO 2020 NC P1

Mensaje sin leer por Sandy » Vie 07 Feb, 2020 1:09 pm

En un tablero de $6\times 6$, un robot se mueve entre casillas que comparten un lado. El robot empieza en una esquina del tablero y pisa cada casilla exactamente una vez, para terminar volviendo a la casilla en la que inició su recorrido.
Hallar el mayor entero positivo $N$ tal que necesariamente existe alguna fila o columna en la que el robot tuvo que haber entrado al menos $N$ veces en su recorrido.

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Fran5

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Re: OMEO 2020 NC P1

Mensaje sin leer por Fran5 » Vie 07 Feb, 2020 1:56 pm

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Cada vez que pasamos de una casilla a otra estamos haciendo una entrada en alguna fila o columna. Más aún, también estamos haciendo una salida desde la fila o columna en la que estábamos parados.
Como el camino es cerrado y pasa exactamente por cada una de las casillas, tenemos que hay exactamente $36$ entradas y $36$ salidas.
Si en ninguna fila o columna hubiese más de $3$ entradas, como hay exactamente $12$ filas y columnas, tendríamos exactamente $3$ entradas por fila (esto es, básicamente, aplicar palomar). En particular, también habrá exactamente $3$ salidas por fila.
Supongamos que empezamos en la esquina superior izquierda. En la fila $6$ tenemos entonces $3$ entradas y $3$ salidas, que se corresponden con la fila $5$.
Pero eso significa que nunca hubo un movimiento desde la fila $4$ hacia la fila $5$. Absurdo, pues el camino comienza en la fila $1$ y tiene que ingresar a la fila $5$ en algún momento.
Luego no puede ser que todas las filas y columnas tengan $3$ o menos entradas, con lo cual nuestro mínimo es $4$

Es fácil construir un ejemplo con a lo más $4$ entradas en cada fila y columna :)
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Sandy

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Re: OMEO 2020 NC P1

Mensaje sin leer por Sandy » Vie 07 Feb, 2020 5:17 pm

Bueno, alguien ya subió la misma demostración que yo para la cota así que me queda a mí subir un ejemplo con $N=4$.
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Turko Arias

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Re: OMEO 2020 NC P1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 08 Feb, 2020 2:28 pm

Sandy escribió:
Vie 07 Feb, 2020 5:17 pm
Bueno, alguien ya subió la misma demostración que yo para la cota así que me queda a mí subir un ejemplo con $N=4$.
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IMG_20200207_171340_649~(1).jpg
Te faltaron unos $27$ subcasos del ejemplo y unos buenos logaritmos, me decepcionaste vieja
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Fran5

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Re: OMEO 2020 NC P1

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 08 Feb, 2020 8:41 pm

Turko Arias escribió:
Sab 08 Feb, 2020 2:28 pm
Sandy escribió:
Vie 07 Feb, 2020 5:17 pm
Bueno, alguien ya subió la misma demostración que yo para la cota así que me queda a mí subir un ejemplo con $N=4$.
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IMG_20200207_171340_649~(1).jpg
Te faltaron unos $27$ subcasos del ejemplo y unos buenos logaritmos, me decepcionaste vieja
Eran para la parte a), pero por suerte llegué yo a proteger la vista de los usuarios de este foro
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Tomás Morcos Porras

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Re: OMEO 2020 NC P1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Lun 10 Feb, 2020 11:03 pm

Cualquier persona: Che, ¿La OMEO suele ser más o menos seria o formal?
La OMEO:
Sandy escribió:
Vie 07 Feb, 2020 5:17 pm
Bueno, alguien ya subió la misma demostración que yo para la cota así que me queda a mí subir un ejemplo con $N=4$.
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IMG_20200207_171340_649~(1).jpg
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Puede que no me reconozcas, pero a lo mejor te suene la cara de un joven que creyó encontrar un ciclo hamiltoniano en el grafo de Petersen, y no satisfecho con creerlo corroborado, subió a un escenario a intentar demostrarlo. Ese soy yo 8-)

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