Problema 5 Nivel 1 Mayo 2019

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Turko Arias

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Problema 5 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 3:07 am

Se tiene un tablero de tres filas y $2019$ columnas. En la primera fila están escritos los números enteros de $1$ a $2019$ inclusive, ordenados de menor a mayor. En la segunda fila, Ana escribe esos mismos números pero ordenados a su elección. En cada casilla de la tercera fila se escribe la diferencia entre los dos números ya escritos en su misma columna (el mayor menos el menor). Beto tiene que pintar algunos números de la tercera fila de manera que la suma de los números pintados sea igual a la suma de los números de esa fila que quedaron sin pintar. ¿Puede Ana completar la segunda fila de manera que Beto no logre su objetivo?

BrunZo

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Re: Problema 5 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 26 Jul, 2019 4:34 pm

Turko Arias escribió:
Vie 26 Jul, 2019 3:07 am
$2009$ columnas
Supongo que el tablero tendrá $2019$ columnas... :roll:

Solución:
Spoiler: mostrar
Consideremos para cada columna, la resta entre el número de la primera columna y el de la segunda (puede ser negativa). Es claro que la suma de todas estas restas da $0$, pues la cuenta es $1+2+3+\cdots+2019-1-2-3-\cdots-2019$, en algún orden. Supongamos que Beto pinta las columnas correspondientes a números positivos y deja los números negativos (y los ceros, pero estos no importan) sin pintar. Como el módulo de ambas cantidades es el mismo (puesto que la suma da $0$), Beto logra su objetivo, sin importar lo que haya hecho Ana...

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Turko Arias

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Re: Problema 5 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 6:11 pm

BrunZo escribió:
Vie 26 Jul, 2019 4:34 pm
Turko Arias escribió:
Vie 26 Jul, 2019 3:07 am
$2009$ columnas
Supongo que el tablero tendrá $2019$ columnas... :roll:
Era para ver si estaban atentos o no

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