OMCC 2019 - P6

[Gianni De Rico]

Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$.
¿Es posible cubrir un tablero cuadrado de $8\times 8$ con $21$ triminós, de modo que quede exactamente un cuadradito de $1\times 1$ sin cubrir? En caso afirmativo, determine todas las posiciones posibles en el tablero del cuadradito que queda sin cubrir.

[Gianni De Rico]

Solución:

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Pintamos dos veces el tablero:

OMCC 2019 P6 coloraciones.png

En ambos casos, cada triminó cubre exactamente una casilla de cada color, y al haber $22$ casillas rojas, $21$ verdes y $21$ blancas, la única casilla que puede quedar sin cubrir debe ser roja. Luego, las únicas casillas que pueden quedar sin cubrir deben estar pintadas de rojo en ambos tableros, es decir, son las que están pintadas de rojo en el siguiente tablero:

OMCC 2019 P6 casillas rojas.png

Veamos que podemos dejar una de ellas sin cubrir, las otras tres se obtienen rotando el tablero:

OMCC 2019 P6 ejemplo.png

[Ignacio Daniele]

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Se colorea de la siguiente forma:
A-B-C-A-B-C-A-B
B-C-A-B-C-A-B-C
C-A-B-C-A-B-C-A
...
Quedan 21 casillas A, 22 B y 21 C. Dado que cada triminó ocupa una A, una B y una C, va a sobrar una B.

Ahora considero las diagonales descendentes:
B-C-A-B-C-A-B-C
A-B-C-A-B-C-A-B
C-A-B-C-A-B-C-A
...
De nuevo quedan 21 A, 22 B y 21 C, por la misma razón, sobra un B.
En conclusión, la casilla que sobra es B ambas veces, solo cuatro casillas cumplen, la (3;3), la (3;6), la (6;3) y la (6;6) numerando del 1 hasta el 8 en ambos ejes, que son la misma casilla pero rotando el tablero 90°.

Un ejemplo es tener las 3 filas de arriba llena de triminós verticales, las fichas entre las primeras 6 columnas y las primeras 2 filas horizontales, las que están entre las primeras 3 filas y las últimas 2 columnas verticales, las que están entre las primeras 2 columnas y entre las filas 3 y 5, verticales, la casilla (6;3) vacía, y las otras casillas horizontales.
Ese ejemplo se lo rota 90°, 180° y 270° y, además del ejemplo original, se tienen los 4 ejemplos de casillas vacías mencionados.