Primer Pretorneo 2019 NM P4

Matías

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Primer Pretorneo 2019 NM P4

Mensaje sin leer por Matías » Mié 01 May, 2019 7:36 pm

Un número entero de $9$ dígitos se dice hermoso si todos sus dígitos son distintos. Demostrar que hay al menos $1000$ números hermosos que son múltiplos de $37$.

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Joacoini

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Re: Primer Pretorneo 2019 NM P4

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 01 May, 2019 10:45 pm

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Veamos modulo $37$
$10^0\equiv 1$
$10^1\equiv 10$
$10^2\equiv -11$
$10^3\equiv 1$
Como hay un ciclo de $3$ podemos intercambiar los dígitos que estén en posiciones con el mismo resto en la división por $3$ así que de un número hermoso nos podemos formar $3!^3=216$ números que cumplen.

Usando de que $111$ es múltiplo de $37$ nos podemos formar un número hermoso $987654320$ vamos a distinguir este numero en conjunto para ver que no se forma a partir de los otros cuatro que vamos a hacer, sus conjuntos característicos son $(9,6,3)(8,5,2)(7,4,0)$ el primero son los números en posiciones con resto $0$ en la división por $3$, el segundo resto $1$ y el tercero resto $2$ (numeramos las posiciones de izquierda a derecha).

$987654320-444000000+44400=543698720$ cumple y su conjunto característico es diferente $(5,6,7)(4,9,2)(3,8,0)$

$987654320-555000000+5550=432659870$ cumple y su conjunto característico es diferente $(4,6,8)(3,5,7)(2,9,0)$

$987654320-44400000+4440=943258760$ cumple y su conjunto característico es diferente $(9,2,7)(4,5,6)(3,8,0)$

$987654320-1110=987653210$ cumple y su conjunto característico es diferente $(9,6,2)(8,5,1)(7,3,0)$

Ya tenemos $5$ números con conjuntos característicos distintos por lo que ya tenemos $216\times 5=1080$ números hermosos divisibles por $37$.
5  
NO HAY ANÁLISIS.

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