Rioplatense 2018 - N1 P6

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Matías V5

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Rioplatense 2018 - N1 P6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 12 Dic, 2018 2:46 pm

Se tiene un cubo de $1 \times 1 \times 1$ cuyas caras están coloreadas de negro, gris y blanco, dos caras de cada color, de manera que las caras opuestas sean del mismo color. Se tiene también un tablero cuadriculado de $2018 \times 2018$ dividido en $2018^2$ casillas de $1 \times 1$.
Ana y Beatriz juegan al siguiente juego. Inicialmente, Ana coloca el cubo sobre una casilla del tablero de manera que la cara del cubo en contacto con el tablero coincida con dicha casilla. A continuación, Beatriz y Ana, alternadamente, voltean el cubo, colocándolo sobre una casilla vecina, como se muestra en la figura:
p6n1rio2018.jpg
Sólo está permitido que el cubo vuelva a pasar por una misma casilla si el color de la cara en contacto con la casilla es diferente de los colores de las caras que estuvieron en contacto con la casilla anteriormente. Así, el cubo puede visitar cada casilla a lo sumo 3 veces: una con una cara negra, otra con una cara gris y otra con una cara blanca.
Pierde aquella jugadora que en su turno no pueda hacer una jugada válida.
Determinar cuál de las dos jugadoras tiene una estrategia ganadora.
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BrunZo

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Re: Rioplatense 2018 - N1 P6

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 20 Mar, 2019 7:07 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Supongamos que pintamos el tablero como ajedrez. Se cumplen las siguientes condiciones:
- En cada turno de Ana (o Beatriz), el cubo está colocado siempre sobre el mismo color (ya que al mover el cubo, cambia blanco $\to$ negro o viceversa).
- En cada turno de Ana (o Beatriz), el cubo tiene la misma dirección, esto es, los colores blanco, gris, negro aparecen siempre en sentido horario o siempre en sentido antihorario (ya que, como antes, al mover el cubo está dirección cambia).
Veamos que Beatriz siempre puede ganar. Para eso, Beatriz va a dividir mentalmente el tablero en dominós, de modo que si Ana cae en una de sus casillas, Beatriz va a mover el cubo a la otra. Ahora, cada vez que Ana caiga en ese dominó, va a caer en la misma casilla (por ejemplo, la negra) y el cubo va a tener la misma dirección (por ejemplo, blanco-gris-negro en sentido horario). Entonces tendríamos, por ejemplo, si el cubo de Ana tiene la cara blanca hacia abajo, el de Beatriz tendrá la gris; si Ana tiene gris, Beatriz negro; y si Ana tiene negro, Beatriz blanco. De este modo, la única forma de que Beatriz pierda (cuando se repita color en su movimiento), va a ser que Ana haya perdido en el turno anterior (misma situación final, mismo movimiento y misma dirección, implican misma situación inicial), de modo que Beatriz se asegura ganar.

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