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Rioplatense 2018 - N1 P4

Publicado: Mié 12 Dic, 2018 2:36 pm
por Matías V5
Lucía escribe los números enteros del $1$ al $27$ inclusive, en algún orden, alrededor de una circunferencia. Luego calcula la suma de cada pareja de números vecinos, obteniendo así $27$ sumas. Llamamos $A$ a la mayor de estas sumas y $B$ a la menor.
Determinar el mínimo valor posible de $A-B$.
Mostrar cómo puede colocar los números Lucía para obtener ese valor mínimo, y explicar por qué es imposible obtener un valor menor.

Re: Rioplatense 2018 - N1 P4

Publicado: Mié 12 Dic, 2018 6:43 pm
por Gianni De Rico
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Como tenemos $27$ números en una circunferencia, hacemos $27$ sumas (una forma de ver esto es pensar los números como puntos sobre la circunferencia, y cada vez que sumamos $2$ de ellos trazamos el segmento que los une, al final trazamos todos los segmentos y tenemos un polígono de $27$ vértices, que tiene $27$ lados), y cada número aparece en dos sumas (con el que está a la izquierda y con el que está a la derecha), entonces la suma total $S$ es el doble de la suma de los números del $1$ al $27$. Como la suma de los números de $1$ hasta $n$ es $\frac{n(n+1)}{2}$, tenemos que $S=2\frac{27\cdot 28}{2}=27\cdot 28$. De esto sale que al menos una de las sumas debe ser menor o igual que $28$, ya que si todas fueran mayores que $28$, tendríamos $S>27\cdot 28$. Además vemos que hay al menos una suma mayor o igual que $29$, ya que los números más chicos que pueden ir al lado del $27$ son el $1$ y el $2$, y $27+2=29$. Entonces tenemos que $A\geqslant 29$ y $B\leqslant 28$, por lo que $A-B\geqslant 1$.
Veamos que no puede ser $A-B=1$. Si esto ocurre, tenemos que al menos $26$ de las sumas deben ser mayores o iguales que $28$ y al menos una debe ser mayor o igual que $29$, entonces $S\geqslant 26\cdot 28+29=26\cdot 28+28+1=27\cdot 28+1>27\cdot 28=S$, lo que no puede pasar. Por lo tanto, $A-B\geqslant 2$.
Un ejemplo con $A-B=2$ es cuando ponemos los números $1,26,3,24,5,22,7,20,9,18,11,16,13,14,15,12,17,10,19,8,21,6,23,4,25,2,27$ entonces cada suma vale $27$ o $29$, por lo tanto $A=29$, $B=27$ y $A-B=29-27=2$

Re: Rioplatense 2018 - N1 P4

Publicado: Vie 14 Dic, 2018 8:15 am
por Fran5
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Para ver qué la mayor suma es al menos $29$, vemos que al lado del $27$ hay dos números, y uno de ellos es al menos $2$.
Para ver qué la menor suma es como mucho $27$, vemos que al lado del $1$ hay dos números, y uno de ellos es como mucho $26$.
Luego $A-B≥2$