Rioplatense 2018 - N1 P3

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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - N1 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 7:30 am

Se tiene un tablero cuadriculado de $27\times 27$. Carla debe pintar de azul algunas de las casillas del tablero, de manera que quede por lo menos una casilla sin pintar y se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:
  • En cada subtablero de $2\times 2$, la cantidad de casillas azules debe ser par.
  • En cada subtablero de $3\times 3$, la cantidad de casillas azules debe ser impar.
Determinar el máximo número de casillas que puede pintar Carla.
[math]

BrunZo

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Re: Rioplatense 2018 - N1 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 20 Mar, 2019 6:54 pm

Solución:
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Lema: En cada subtablero $3\times 3$ no hay más de $5$ casillas pintadas.
Spoiler: mostrar
Si las hubiese, habría exactamente $7$ casillas pintadas. Analizando los no muchos casos [no tengo muchas ganas de hacerlo, por lo que se dejará como ejercicio para el lector], vemos que esto es imposible de realizar para que cada $2\times 2$ tenga par cantidad de pintadas.
Entonces, se divide el tablero en $81$ tableros $3\times 3$, de modo que hay $405$ casillas pintadas como máximo. [Habría que dar un ejemplo, pero tampoco tengo muchas ganas de darlo, igualmente, es simplemente replicar un tablero $3\times 3$ para llenar todo. Del mismo modo, se deja como ejercicio al lector]
¡A trabajar lectores! :P

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