Se tiene un tablero de $7\times 7$ dividido en $49$ casillas. Mateo coloca una moneda en una casilla.
a) Demostrar que Mateo puede colocar la moneda de modo que a Emi le resulte imposible cubrir completamente las $48$ casillas restantes, sin huecos ni superposiciones, utilizando $15$ rectángulos de $3\times 1$ y un codo de tres casillas, como los de la figura.
Nacional 2018 N3 P3 Figura.jpg
b) Demostrar que no importa en qué casilla coloque Mateo la moneda, Emi siempre podrá cubrir las $48$ casillas restantes usando $14$ rectángulos de $3\times 1$ y dos codos de tres casillas.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Como no tenemos colores por falta de presupuesto, vamos a pseudocolorear nuestro tablero con cuadraditos, circulitos y estrellitas de la siguiente forma
La idea es que para tapar el tablero hay que sacar la ficha individual que esté y colocar la ficha larga o el codo.
Inicialmente hay $21$ cuadraditos, $14$ circulitos y $14$ estrellitas. Notamos que poner la ficha larga o bien resta $3$ fichas del mismo tipo o bien resta una de cada tipo, por lo que si antes de una ficha larga los $3$ restos módulo $3$ de las cantidades de fichas de cada tipo no eran todos iguales, tampoco van a serlo después. Pero nosotros queremos cubrir todo el tablero, por lo que queremos que haya cero fichas de cada tipo, lo que implica que las tres cantidades tengan el mismo resto módulo tres. Luego, lo que queremos probar entonces es que Mateo puede colocar la moneda de manera que Emi no pueda lograr que queden las tres cantidades con el mismo resto módulo $3$ después de ubicar la ficha codo.
Notemos que si Mateo coloca la moneda quitando un cuadradito quedan $20$ cuadraditos, $14$ circulitos y $14$ estrellitas. El codo quita, no importa como se lo ubique, dos fichas de un tipo y una de otro. Por lo que luego de poner el codo puede suceder que queden las cantidades $19, 13, 14$ o $19, 14, 13$ o $20, 12,14$ o $20, 14, 12$ o $21 12, 13$ o $21, 13, 12$, luego ninguna cumple que los $3$ tienen el mismo resto módulo tres, por lo que Mateo puede asegurarse siempre su objetivo.
El tablero tiene $17$ cuadrados, $16$ puntos y $16$ estrellas.
La ficha de $1\times 3$ cubre una casilla de cada símbolo.
El codo cubre $2$ casillas de un símbolo y una de otro.
Notemos que si MateoCV coloca la moneda en una casilla con un cuadrado habría 16 de cada símbolo, una vez que Emi coloca los 15 rectángulos queda una casilla de cada símbolo y a Lwiwiwiwinsky le resulta imposible cubrir eso con un codito.
$b)$ La moneda va a estar en al menos uno de los cuatro subtableros de $4\times 4$, el resto del tablero se puede cubrir así.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\ & \ & \ & \ & \bullet & \bullet & \bullet \\ \hline
\ & \ & \ & \ & \bigstar & \bigstar & \bigstar \\ \hline
\ & \ & \ & \ & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ \hline
\ & \ & \ & \ & \diamond & \diamond & \diamond \\ \hline
\bigstar & \blacksquare & \bullet & \diamond & \bigstar & \blacksquare & \bullet \\ \hline
\bigstar & \blacksquare & \bullet & \diamond & \bigstar & \blacksquare & \bullet \\ \hline
\bigstar & \blacksquare & \bullet & \diamond & \bigstar & \blacksquare & \bullet \\ \hline
\end{array}$
Ahora en el tablero $4\times 4$ la moneda quedara en un $2\times 2$, el resto del tablero lo cubrimos así.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\bullet & \diamond & \diamond & \diamond \\ \hline
\bullet & \bullet & \blacksquare & \bigstar \\ \hline
\ & \ & \blacksquare & \bigstar \\ \hline
\ & \ & \blacksquare & \bigstar \\ \hline
\end{array}$
Y el $2\times 2$ lo cubrimos así
$\begin{array}{|c|c|} \hline
\bullet & \bullet \\ \hline
\triangle & \bullet \\ \hline
\end{array}$
Última edición por Joacoini el Lun 12 Nov, 2018 8:34 am, editado 1 vez en total.
Notemos que sin importar cómo se las ubique, cada ficha (en adelante la llamo tira) de $3\times 1$ ocupa exactamente una casilla roja, una negra y una blanca; y cada codo ocupa $2$ casillas de un color y una de otro. En el tablero hay $17$ casillas negras, de las cuales $15$ serán ocupadas por tiras; si Mateo coloca la moneda en una casilla negra, como cada casilla se ocupa exactamente una vez, Emi tiene que colocar el codo de forma que ocupe solamente una casilla negra, luego, ocupa dos casillas rojas o bien dos casillas blancas. Ahora, hay $16$ casillas de cada uno de estos tipos, de las cuales $15$ deben ser ocupadas por tiras, por lo tanto, se están ocupando $15+2=17$ casillas de alguno de esos tipos, lo que no es posible pues sólo hay $16$ y cada una se ocupa exactamente una vez. Entonces colocando la moneda en una casilla negra, Mateo se asegura que Emi no pueda cubrir el tablero.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
El tablero tiene $17$ cuadrados, $16$ puntos y $16$ estrellas.
La ficha de $1\times 3$ cubre una casilla de cada símbolo.
El codo cubre $2$ casillas de un símbolo y una de otro.
Notemos que si MateoCV coloca la moneda en una casilla con un cuadrado habría 16 de cada símbolo, una vez que Emi coloca los 15 rectángulos queda una casilla de cada símbolo y a Lwiwiwiwinsky le resulta imposible cubrir eso con un codito.
Ojo con la parte a). Con esa coloración, el codo sí puede cubrir casillas de $3$ colores distintos, por ejemplo si lo colocás tapando las casillas $(1,2)$ $(1,3)$ y $(2,3)$
Fíjate que la moneda sigue quedando en un cuadrado de $2\times 2$ y cada caso sale con rotaciones de mis ejemplos, yo nunca especifique que la moneda queda en la esquina.
Veamos que si Mateo coloca la moneda en la casilla superior izquierda gana.
Pintemos de la siguiente manera:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\bullet & a & b & c & a & b & c \\ \hline
a & b & c & a & b & c & a \\ \hline
b & c & a & b & c & a & b \\ \hline
c & a & b & c & a & b & c \\ \hline
a & b & c & a & b & c & a \\ \hline
b & c & a & b & c & a & b \\ \hline
c & a & b & c & a & b & c \\ \hline
\end{array}$
Notemos que cada $1\times 3$ cubre una casilla de cada color. Como hay $16$ de cada tipo, tenemos que el codo también debe tener una de cada color. Esto sólo es posible si el codo va en alguna de estas posiciones:
$\begin{array}{|c|c|} \hline
\bullet & \bullet \\ \hline
& \bullet \\ \hline
\end{array}$ o $\begin{array}{|c|c|} \hline
\bullet & \\ \hline
\bullet & \bullet \\ \hline
\end{array}$
Ahora pintemos de la siguiente manera:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\bullet & a & b & c & a & b & c \\ \hline
b & c & a & b & c & a & b \\ \hline
a & b & c & a & b & c & a \\ \hline
c & a & b & c & a & b & c \\ \hline
b & c & a & b & c & a & b \\ \hline
a & b & c & a & b & c & a \\ \hline
c & a & b & c & a & b & c \\ \hline
\end{array}$
Nuevamente cada $1\times 3$ cubre una casilla de cada color, y hay $16$ de cada uno, por lo que el codo también debe cubrir una de cada color. Pero en cualquiera de las $2$ posiciones anteriores cubre $2$ casillas de algún color, por lo tanto Emi nunca podrá llenar el tablero.
