ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 1 - P7

[Nando]

Pablo distribuyó los números del 1 al 9 en un tablero de$3\times 3$, un número en cada casilla.
Luego, calculó la suma de los números de cada subtablero de $2 \times 2$ y, finalmente, calculó la suma de los cuatro números que están ubicados en las casillas de las esquinas del tablero. Si las cinco sumas que calculó Pablo son iguales, determine el menor valor posible de la suma de tres números que estén en una misma fila.$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
\end{array}$$

[Nando]

Espero que este bien

Spoiler: mostrar

La suma de $1+2+\cdots+9=45$
Completemos el tablero
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a &b &c \\
\hline
d &e & f \\
\hline
g& h & i \\
\hline
\end{array}$
Luego la suma de los subtableros de $2\times 2$ y la suma de las esquinas del tablero será $k$
$a+b+d+e=k$
$b+c+e+f=k$
$d+e+g+h=k$
$e+f+h+i=k$
$a+c+g+i=k$
La suma de las ecuaciones será
$2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+2e=5k$
$90+2e=5k$
$18+\frac{2e}{5}=k$, de observa que $5|e$ con $e=5$ y $k=20$
Ahora con un poco de talacha tenemos
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1 & 8 &3 \\
\hline
6 &5 & 4\\
\hline
7& 2&9 \\
\hline
\end{array}$
Siendo la fila $1+8+3=12$ la menor suma

Como nos aseguramos que no existe otro reordenamiento en donde una determinada fila (o columna que podemos rotar) sume menos que $12$

Tomando las esquinas del tablero y el $5$ completamos de forma única
$1+5+8+6=20$
$9+5+4+2=20$
$7+5+6+2=20$
$3+5+8+4=20$

Luego completemos el tablero
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1&8 & \\
\hline
6& 5& \\
\hline
& & \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1& 8& 3\\
\hline
6& 5&4 \\
\hline
& & \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1& 8& 3\\
\hline
6& 5&4 \\
\hline
7&2 & 9\\
\hline
\end{array}$