Sea $\mathcal D$ el conjunto de todos los divisores positivos del número$$2^{16}\cdot 3^8\cdot 5^4\cdot 7^2$$$\mathcal C$ es un subconjunto de $\mathcal D$ que tiene la siguiente propiedad: Si $a$ y $b$ son elementos cualesquiera
de $\mathcal C$, con $a\neq b$, se cumple que el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ no pertenece a $\mathcal C$.
Determine cuántos elementos como máximo puede tener $\mathcal C$.
Decimos que $\mathcal C$ es no-válido si no cumple con las condiciones del enunciado. Notemos que un conjunto es no-válido sí y sólo sí existen dos números $a$ y $b$ tales que uno es divisor del otro.
Esto ya que si $a|b$ entonces $mcm(a,b) = b$ que está en $\mathcal C$. Y si existe un par $a,b$ tal que $c = mcm(a,b)$ aparece en $\mathcal C$ entonces hay un par de números que se dividen, por ejemplo $a$ y $c$.
Entonces para que $\mathcal C$ sea válido nos basta con que para todo par de números $a,b$ estos no se dividan.
Notemos que todo número en este conjunto es de la forma $n = 2^a 3^b 5^c 7^d$, donde los posibles números de la forma $k_n = 3^b 5^c 7^d$ son $(8+1)(4+1)(2+1) = 135$. Entonces si $|\mathcal C| \geq 136$ por palomar existen dos números $n$ y $n’$ donde $k_n = k_{n’}$, luego si suponemos que $v_2(n’) < v_2(n)$ (es decir, que $n’$ es el número con el menor exponente en el $2$), tenemos que $n’ | n$. Por lo tanto, $|\mathcal C| \leq 135$.
Para $|\mathcal C| = 135$ el ejemplo es este: tomemos todos los $k_n$ posibles y ordenémoslos en pisos según la suma de sus exponentes, es decir, $k_n = 1$ irá en el piso $0$ mientras que $k_n = 3^8 5^4 7^2$ irá en el piso $8 + 4 + 2 = 14$. Luego existen $15$ pisos, hacemos que el exponente del $2$ para los $k_n$ en el piso $i$ sea $14-i$. Supongamos que hay un par $a, b$ que se dividen ($a|b$) luego $k_a | k_b$ entonces $k_a$ está abajo de $k_b$ pero ocurre que $v_2(a) > v_2(b)$ lo cual es absurdo porque se dividen. Finalmente el ejemplo funciona y $135$ es el máximo.
