ONEM 2018 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

[Nando]

Cada casilla de un tablero de $10\times 10$ se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que cada subtablero de $3\times 3$ tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas casillas rojas puede haber como máximo?

Nota: La pregunta 9 nivel 3 es similar solo varia el tablero $8\times 8$.

[Gianni De Rico]

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De la misma forma que acá dividimos el subtablero de $9\times 9$ de arriba a la izquierda en $9$ subtableros disjuntos de $3\times 3$. Cada uno de estos subtableros puede tener a lo sumo $7$ casillas rojas, ya que tenemos que pintar al menos una verde y una azul, en total podemos tener a lo sumo $7\cdot 9=63$ casillas rojas. Las de la última columna a la derecha y última fila abajo no las contamos, son $19$ y pueden ser todas rojas. En total podemos tener a lo sumo $63+19=82$ casillas rojas.
Un ejemplo con $82$ es

Screenshot_20180922-212247.png

Luego, el máximo es $82$. QED