ONEM 2018 - Fase 2 - Nivel 1 - P9

[Nando]

Cada casilla de un tablero de $8\times 11$ se va a pintar de rojo, verde o azul, de tal forma que cada subtablero de $2 \times 2$ tenga al menos una casilla de cada uno de los tres colores. ¿Cuántas casillas rojas puede haber como máximo?

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
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\end{array}$$

[Gianni De Rico]

Spoiler: mostrar

Veamos que podemos poner como mucho $48$ casillas rojas:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & \\ \hline
1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & \\ \hline
6 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & \\ \hline
6 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & \\ \hline
11 & 11 & 12 & 12 & 13 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\ \hline
11 & 11 & 12 & 12 & 13 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\ \hline
16 & 16 & 17 & 17 & 18 & 18 & 19 & 19 & 20 & 20 & \\ \hline
16 & 16 & 17 & 17 & 18 & 18 & 19 & 19 & 20 & 20 & \\ \hline
\end{array}$$

Cada $4$ números iguales podemos poner a lo sumo $2$ casillas rojas (ya que en caso contrario tendríamos un subtablero de $2\times 2$ con $3$ casillas rojas, y como tenemos que usar los $3$ colores, la casilla restante debería estar pintada con dos colores, absurdo), entonces podemos poner a lo sumo $2\cdot 20=40$ casillas rojas, y podemos poner $8$ casillas rojas más (las que no están numeradas), en total, $40+8=48$ casillas rojas.
Ahora veamos que efectivamente podemos poner $48$ casillas rojas:

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Por lo tanto, el máximo es $48$. QED