Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

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Matías V5

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Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Un collar tiene $840$ perlas, cada una de ellas de uno de los colores negro, verde o azul. En cada paso se reemplaza simultáneamente cada perla por una nueva perla, con el color de la nueva perla determinado de la siguiente manera: Si las dos perlas vecinas de la perla original eran del mismo color, la nueva perla lleva ese color. Si las dos perlas vecinas de la perla original eran de distinto color, la nueva perla es del tercer color.
  1. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía la mitad de las perlas verdes y la otra mitad, negras?
  2. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía $700$ perlas negras y el resto verdes?
  3. ¿Es posible transformar un collar con exactamente dos perlas adyacentes negras y $838$ perlas azules en un collar de una perla verde y $839$ perlas azules?
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

c)
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Pensamos las perlas como vértices de un polígono regular de $840$ lados. Trazamos la mediatriz $g$ del segmento que une los dos vértices negros. Luego, el polígono es simétrico respecto de $g$, y después de cada paso la simetría se mantiene. En particular la cantidad de vértices verdes es invariante módulo $2$, entonces siempre será $0$. Por lo tanto, es imposible lograr el objetivo.
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Monazo

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo »

b)
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Vamos a demostrar que no se puede.
Como primer paso veamos los colores como congruencia módulo 3.
$Negro \equiv 1 mod(3)$
$Verde \equiv 2 mod(3)$
$Azul \equiv 0 mod(3)$
Vamos a demostrar que la congruencia módulo 3 de la suma de todos los números es invariante.
Numeramos a las perlas como $a_1, a_2, … , a_{840}$, y llamamos a las que aparecerán en el turno siguiente $b_1,b_2, … , b_{840}$
Llamemos $a_n$ y $a_{n+2}$ a los padres de $b_{n+1}$
Notemos que no importa cuando valgan $a_n$ y $a_{n+2}$, siempre tendremos que:
$a_n+a_{n+2}+b_{n+1} \equiv 0$ $ mod(3)$
Esto se puede ver sencillamente viendo caso por caso. Como ejemplo pongamos que:
Si $a_n=Negro$ y $a_{n+2}=Negro$, entonces $b_{n+1}=Negro$ y $ 1+1+1 \equiv 0$ $ mod(3)$
Si $a_n=Negro$ y $a_{n+2}=Verde$, entonces $b_{n+1}=Azul$ y $ 1+2+0 \equiv 0$ $ mod(3)$
Ahora bien, veamos que entonces se cumple que:
$a_{840}+a_2+b_1 \equiv 0mod(3)$
$a_{1}+a_3+b_2 \equiv 0mod(3)$
.
.
.
$a_{839}+a_1+b_{840} \equiv 0mod(3)$
Finalmente, si sumamos todos, y tenemos en cuenta que casa perla es padre de dos hijos, obtenemos que:
$2.(a_1+a_2+a_3+\dots + a_{839}+a_{840})+(b_1+b_2+\dots + b_{840})\equiv 0mod(3)$
Y como en un principio pasa que:
$a_1+a_2+a_3+\dots + a_{839}+a_{840} \equiv 2 mod(3)$, entonces:
$2.(a_1+a_2+a_3+\dots + a_{839}+a_{840}) \equiv 1mod(3)$, por lo que obtenemos que:
$(b_1+b_2+\dots + b_{840})\equiv 2mod(3)$
Finalmente, vemos que la suma de todos los números no varía su congruencia módulo 3, por lo que será imposible cumplir el objetivo dado que tener todas perlas $Azules$ implica que su suma sea múltiplo de 3.

Soy una Estufa en Piloto
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Joacoini

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini »

a)
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Pintas 2 verdes, 2 negras, 2 verdes, 2 negras y así, notar que esto se puede porque $840$ es múltiplo de 4. En el primer paso cada perla tiene una verde a un lado y negra al otro por lo que se vuelven todas azules.
NO HAY ANÁLISIS.
matematicas hijo :v
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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por matematicas hijo :v »

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Gianni De Rico escribió: Jue 02 Ago, 2018 10:17 pm c)
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Pensamos las perlas como vértices de un polígono regular de $840$ lados. Trazamos la mediatriz $g$ del segmento que une los dos vértices negros. Luego, el polígono es simétrico respecto de $g$, y después de cada paso la simetría se mantiene. En particular la cantidad de vértices verdes es invariante módulo $2$, entonces siempre será $0$. Por lo tanto, es imposible lograr el objetivo.
Spoiler: mostrar
a mi me salio los 839 azules y el verde de la siguiente forma:
...a a a a a n n a a a a....
...a a a a v n n a a a a....
...a a a a v a n a a a a....
...a a a a v a a a a a a....
con a como azul, v como verde y n como negro ¿hay algo en que la pifie?
Gianni De Rico escribió: Jue 02 Ago, 2018 10:17 pm
:idea:
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

matematicas hijo :v escribió: Dom 23 Jul, 2023 8:20 pm
Spoiler: mostrar
a mi me salio los 839 azules y el verde de la siguiente forma:
...a a a a a n n a a a a....
...a a a a v n n a a a a....
...a a a a v a n a a a a....
...a a a a v a a a a a a....
con a como azul, v como verde y n como negro ¿hay algo en que la pifie?
Creo que los pasos son así
Spoiler: mostrar
...a a a a a n n a a a a....
...a a a a v v v v a a a....
...a a a n n v v n n a a....
...a a v v a a a a v v a....
Esto es porque
Spoiler: mostrar
las perlas cambian de color todas al mismo tiempo, no podés elegir qué perla cambiar en cada paso (que es lo que estás haciendo vos en tu ejemplo).
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por matematicas hijo :v »

Gianni De Rico escribió: Dom 23 Jul, 2023 8:39 pm
matematicas hijo :v escribió: Dom 23 Jul, 2023 8:20 pm
Spoiler: mostrar
a mi me salio los 839 azules y el verde de la siguiente forma:
...a a a a a n n a a a a....
...a a a a v n n a a a a....
...a a a a v a n a a a a....
...a a a a v a a a a a a....
con a como azul, v como verde y n como negro ¿hay algo en que la pifie?
Creo que los pasos son así
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...a a a a a n n a a a a....
...a a a a v v v v a a a....
...a a a n n v v n n a a....
...a a v v a a a a v v a....
Esto es porque
Spoiler: mostrar
las perlas cambian de color todas al mismo tiempo, no podés elegir qué perla cambiar en cada paso (que es lo que estás haciendo vos en tu ejemplo).
AHH.. ahi la pifie :shock:
:idea:
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