Ibero 2008 - P1

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Gianni De Rico

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Ibero 2008 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 26 Jun, 2018 1:29 pm

En cada casilla de un tablero de $2008\times 2008$ se escriben los enteros desde $1$ hasta $2008^2$. En cada fila y en cada columna se calcula la diferencia entre el mayor y el menor valor escrito. Sea $S$ la suma de los $4016$ valores calculados. Hallar el mayor valor posible de $S$.
[math]

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Joacoini

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Re: Ibero 2008 - P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 27 Jun, 2018 12:00 am

Genralización
Spoiler: mostrar
Tomamos un tablero de $n\times n$ con $n$ par.
Llamamos $f_i$ o $c_i$ al valor de la fila o columna $i$.
Llamamos $f_{i_1}<f_{i_2}< ...<f_{i_n}$ a los números que están en la fila $i$
$f_i=f_{i_n}-f_{i_1}$
$S=f_1+f_2+...+f_n+c_1+c_2+...+c_n=f_{1_n}+f_{2_n}+...+f_{n_n}+c_{1_n}+c_{2_n}+...+c_{n_n}-f_{1_1}-f_{2_1}-...-f_{n_1}-c_{1_1}-c_{2_1}-...-c_{n_1}$
En $S$ cada número entre $n^2$ y $1$ puede intervenir como mucho dos veces ya que puede representar a su fila y a su columna, solo una de estas o a ninguna. Por lo tanto el valor máximo de $S$ sería.
$S=2n^2+2(n^2-1)+...+ 2(n^2-n+1)-2\times 1-2\times 2-...-2n=2n^2(n-1)$

Ejemplo
Ubicamos los números del $1$ al $n$ en la diagonal que va de la esquina superior derecha a la inferior izquierda y ubicamos los números del $n^2-n+1$ al $n^2$ en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha.

En el caso de $n=2008$ el mayor valor de $S$ es $S=2\times 2008^2\times 2007=16184704896$
Tetraedro inscripto en un paralelepípedo contiene un tercio del volumen de este.

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