IBERO 2007 P4

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Violeta

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IBERO 2007 P4

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 04 Sep, 2017 5:45 pm

Un dragón es una pieza que se puede mover cuatro casillas una dirección no-diagonal y luego una casilla en una dirección perpendicular. Es sabido que un dragón puede recorrer el tablero completo.

Para cualesquiera dos casillas del tablero, se define las distancias draconiana como la cantidad mínima de movidas que requiere un dragón para llegar de la primera a la segunda.

Sea [math] la esquina inferior derecha de un tablero [math] y [math] la casilla del tablero que solo comperte un punto con [math]. Probar que existe un punto [math] tal que la distancia draconiana de [math] a [math] sea mayor que la distancia draconiana de [math] a [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: IBERO 2007 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 26 Jun, 2018 12:23 pm

Spoiler: mostrar
Reflejamos el tablero para que $C$ quede abajo a la izquierda (así no me vuelvo loco con el dragón viajando al revés), total cuando terminamos lo volvemos a reflejar y listo
Sea $D(A,B)$ la distancia draconiana de $A$ a $B$
Vamos a definir las movidas del dragón:
$H++$: Se mueve $4$ casillas hacia la derecha y una hacia arriba
$H+-$: Se mueve $4$ casillas hacia la derecha y una hacia abajo
$H-+$: Se mueve $4$ casillas hacia la izquierda y una hacia arriba
$H--$: Se mueve $4$ casillas hacia la izquierda y una hacia abajo
$V++$: Se mueve $4$ casillas hacia arriba y una hacia la derecha
$V+-$: Se mueve $4$ casillas hacia arriba y una hacia la izquierda
$V-+$: Se mueve $4$ casillas hacia abajo y una hacia la derecha
$V--$: Se mueve $4$ casillas hacia abajo y una hacia la izquierda

Veamos que con $8$ movidas llegamos desde $C$ hasta $V$:
$H++,H+-,V+-,V+-,H--,V--,H+-,H--$
Luego $D(C,V)\leqslant 8$

Sea $X$ la casilla que está inmediatamente a la abajo de la esquina superior derecha del tablero, afirmo que se necesitan al menos $9$ movidas para llegar a $X$
El dragón tiene que subir $17$ casillas, las movidas $V$ suben o bajan $4$ casillas y las movidas $H$ suben o bajan $1$ casilla, como $4\not \equiv 17(2)$, necesitamos una cantidad impar de movidas horizontales. Análogamente, como el dragón tiene que moverse $18$ casillas a la derecha, necesitamos una cantidad par de movidas verticales. En total necesitamos una cantidad impar de movidas.
Supongamos que podemos llegar a $X$ en menos de $9$ movidas, entonces podemos llegar en a lo sumo $7$ movidas ya que usamos una cantidad impar de movidas. En cada paso nos alejamos como mucho $5$ casillas (Distancia Manhattan) de $C$, entonces nos alejamos a lo sumo $7\times 5=35$ casillas de $C$, pero necesitamos alejarnos exactamente $35$ casillas de $C$. Entonces no podemos bajar ni ir a la izquierda, por lo tanto, si $h$ es la cantidad de movidas horizontales y $v$ la cantidad de movidas verticales resulta
$\left.\begin{matrix}
18=4h+v \\
17=h+4v
\end{matrix}\right\} \Rightarrow 1=3(h-v)$
Como ambos son enteros resulta $3\mid 1$. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que podemos llegar a $X$ en menos de $9$ movidas, luego, necesitamos por lo menos $9$ movidas para hacerlo. Luego $D(C,X)\geqslant 9$ (y como sabemos que puede llegar a cualquier casilla, no nos importa cómo lo hace)
Por lo tanto $D(C,X)\geqslant 9>8\geqslant D(C,V)$
[math]

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