Problema 1 APMO 2017

tuvie

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Problema 1 APMO 2017

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 14 May, 2017 12:26 pm

Decimos que una [math]-tupla de números enteros es acomodable si sus elementos pueden ser etiquetados [math] en algún orden de manera que [math]. Determinar todas las [math]-tuplas de números enteros [math] tales que si los colocamos alrededor de una circunferencia en sentido horario, toda [math]-tupla de números en posiciones consecutivas en la circunferencia es acomodable.
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Emerson Soriano

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Re: Problema 1 APMO 2017

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Dom 14 May, 2017 8:37 pm

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Una [math] upla trivial es cuando [math], para todo todo [math]. Supongamos que existe una [math] upla no trivial [math], es decir, existe algún [math] tal que [math]. Vamos a tratar de ir modificando a la [math]upla trivial [math] para que llegue a ser igual a [math]. Supongamos que [math] es lo que le falta a [math] para llegar a ser igual que [math], para todo [math]. Los [math] cumplen que, si los colocamos en una circunferencia, en sentido horario, entonces al seleccionar [math] de ellos adyacentes, entre ellos hay tres cuya suma es igual a los otros dos. Esto muestra que la suma de cinco adyacentes cualesquiera es múltiplo de [math]. Así, como [math], entonces agrupando los [math] de cinco en cinco, podemos notar que la suma total de todos los [math] es congruente con cualquier [math] en el módulo [math], y de esto es fácil llegar a que los [math] son pares, o sea, todos son múltiplos de [math]. Ahora, dividimos entre [math] a cada uno de los [math], y es notorio que los números resultantes cumplen la misma propiedad que los [math], es decir, en cinco adyacentes cualesquiera siempre hay tres cuya suma es igual a los otros dos, por lo tanto [math] es múltiplo de [math], o sea [math] es múltiplo de [math]. Este razonamiento continua y se determina que los [math] son múltiplos de cualquier potencia de [math], es decir, [math], para todo [math]. Por lo tanto, sólo cumple una [math]upla, que es la trivial.

Finalmente, se concluye que sólo hay una [math]upla, que es cuando todos los [math] son iguales a [math].

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