Uno muy curioso

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Emerson Soriano

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Uno muy curioso

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 26 Ago, 2014 10:15 pm

Sea [math] un entero positivo. Un conjunto [math] tiene la siguiente propiedad: "Entre cualesquiera [math] enteros consecutivos, siempre hay un elemento de [math]". Pruebe que:

[math] Existen cuatro elementos distintos [math] de [math] tales que [math].

[math] Existen dos elementos distintos de [math] tales que uno de ellos divide al otro.

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Joacoini

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Re: Uno muy curioso

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 22 Mar, 2020 6:36 pm

a)
Spoiler: mostrar
Sean $...<a_{-1}<a_0<a_1<...$ los elementos de $A$

Si $a_{i+1}-a_i>n$ entonces hay $n$ números consecutivos entre los cuales no hay ningún elemento de $A$ lo cual no puede pasar así que $0<a_{i+1}-a_i\leq n$.
Como $A$ tiene infinitos elementos debe suceder que existen $i$ y $j$ tal que $a_{i+1}-a_i=a_{j+1}-a_j\Rightarrow a_{i+1}+a_j=a_i+a_{j+1}$.
b)
Spoiler: mostrar
Lema:
Sean $n_1,..., n_k$ enteros positivos y $r_1,...,r_k$ restos para cada uno de esos números, si existe un entero positivo $x$ tal que
$x\equiv r_1$ mod $n_1$
$...$
$x\equiv r_k$ mod $n_k$
entonces existen infinitos.

Demostración:
Spoiler: mostrar
Si $m=mcm(n_1,...,n_k)$ entonces los números $a\equiv x$ mod $m$ cumplen ya que para cada $n_i$ como $n_i$ divide a $m$ tenemos que
$a\equiv x \equiv r_i$ mod $n_i$.
Supongamos que no existen tales elementos.

Sea $a_1$ un elemento de $A$ con resto $r_1$ en la división por $n$ tenemos que sí $x_1$ es el mayor múltiplo de $n$ menor a $a_1$ entonces
$x_1\equiv 0$ mod $n$
$x_1\equiv -r_1$ mod $a_1$

Procedamos por inducción, supongamos que tenemos $a_1,...,a_i$ elementos de $A$, $i<n$, con restos distintos $r_1,..., r_i$ en la división por $n$ tales que existe $x_i$ tal que
$x_i\equiv 0$ mod $n$
$x_i\equiv -r_j$ mod $a_j$, $1\leq j\leq i$

El caso base con $i=1$ ya fue presentado, veamos que podemos encontrar $i+1$ que cumplan.
Por el Lema existe un entero positivo $x_{i+1}$ que mantiene las congruencias y es mayor que $a_1, a_2, ...$ y $a_n$.
Por el enunciado hay un elemento de $A$, el cual llamamos $a_{i+1}$, entre $x_{i+1}, x_{i+1}+1, ..., x_{i+1}+n-1$ pero por como elegimos $x_{i+1}$ tenemos que $x_{i+1}+r_1, ..., x_{i+1}+r_i$ son múltiplos de $a_1, ..., a_i$ respectivamente por lo que si $a_{i+1}=x_{i+1}+r_{i+1}\Rightarrow r_{i+1}\neq r_j$ para $1\leq j \leq i$.

Ahora tenemos $a_1,...,a_{i+1}$ elementos de $A$, con restos distintos $r_1,..., r_{i+1}$ en la división por $n$ y $x_{i+1}$ cuple
$x_{i+1}\equiv 0$ mod $n$
$x_{i+1}\equiv -r_j$ mod $a_j$, $1\leq j\leq i+1$


Terminada la inducción tenemos $n$ elementos de $A$, $a_1,...,a_n$, con restos distintos $r_1,..., r_n$ en la división por $n$ tales que existe $x_n$ tal que
$x_n\equiv 0$ mod $n$
$x_n\equiv -r_j$ mod $a_j$, $1\leq j\leq n$

Por el Lema existe un entero positivo $x_{n+1}$ que mantiene las congruencias y es mayor que $a_1,...,a_n$.
Por el enunciado hay un elemento de $A$ entre $x_{n+1}, x_{n+1}+1, ..., x_{n+1}+n-1$ pero por como elegimos $x_{n+1}$ tenemos que $x_{n+1}+r_1, ..., x_{n+1}+r_n$ son múltiplos de $a_1, ..., a_n$ pero $r_1,..., r_n$ es una permutación de $0, 1, ..., n-1$ así que sea cual sea el elemento de $A$ que este en este rango tenemos que hay otro elemento de $A$ que lo divide.
NO HAY ANÁLISIS.

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MateoCV

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Re: Uno muy curioso

Mensaje sin leer por MateoCV » Mar 24 Mar, 2020 8:00 pm

$2^{82589933}-1$ es primo

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