Determinar si existe una función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ (donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de los números naturales) tal que$$f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))$$para todo $n$ natural tal que $n\geq 2$.
Supongamos, para llegar a un absurdo, que existe una función cumpliendo lo pedido. Sea $t$ el menor número para el que existe un natural $n$ tal que $f(n)=t$ (Existe porque la función está definida sobre los naturales).
Lema: Si $f(a)=t$ entonces $a=1$
Supongamos lo contrario, luego $a\geq2$ y se cumple $$t=f(a)=f(f(a-1))+f(f(a+1))\geq t+t>t$$ Absurdo, así que $a=1$.
Notemos que la función no puede ser constante, ya que en ese caso tendríamos $f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))=f(n)+f(n)\Rightarrow f(n)=0$ lo que es una contradicción porque el cero no es natural. En consecuencia existe $t_1$ definido como el menor natural mayor a $t$ tal que existe un $k$ cumpliendo $f(k)=t_1$.
Como por el lema $f(1)=t$, entonces $k\geq2$ y $$f(k)=f(f(k-1))+f(f(k+1))\Rightarrow f(f(k+1))=t_1-f(f(k-1))<t_1$$ De donde se sigue que $f(f(k+1))=t$, y gracias al lema esto nos dice que $f(k+1)=1$. Pero notemos que $1$ es el menor número natural, es decir que $t=1$, por lo que apelando nuevamente al lema tenemos $k+1=1\Rightarrow k=0$. Pero esto no es cierto porque $k\geq2$. De esta contradicción demostramos que no existe ninguna función cumpliendo lo pedido. $\bigstar$