Desigualdad de medias

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cde_felix
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Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por cde_felix »

a) Determine el valor mínimo de la expresión$$\sqrt[3]{abc}\left (\frac{1}{b}+ \frac{y}{c}+\frac{1}{ax}\right )$$en función de $x$ e $y$, donde $a,b,c,x,y,z$ son números reales positivos.

b) Sea $M$ el valor mínimo que puede tomar la expresión$$\frac{x}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z}{x^2},$$donde $x,y,z$ son números reales positivos. Determine $M^2$.
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drynshock

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por drynshock »

La parte B es lo mismo que uno de los problemas del entrenamiento de cono de este año
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Por AM-GM: $\frac{y^2}{z}+\frac{z}{x^2} \geq 2\frac{y}{x}$

Y de nuevo por AM-GM $\frac{x}{y} + 2\frac{y}{x} \geq 2\sqrt{2}$ de donde $M = (2\sqrt{2})^2 = 8$
Y la parte A
Spoiler: mostrar
Es simplemente AM-GM en los últimos tres, es decir $\frac{1}{b}+\frac{y}{c}+\frac{1}{ax} \geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{abcx}}$ de donde la expresión siempre es mayor o igual que $3\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$
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tuvie

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por tuvie »

drynshock escribió: Lun 07 Oct, 2024 7:15 pm La parte B es lo mismo que uno de los problemas del entrenamiento de cono de este año
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Por AM-GM: $\frac{y^2}{z}+\frac{z}{x^2} \geq 2\frac{y}{x}$

Y de nuevo por AM-GM $\frac{x}{y} + 2\frac{y}{x} \geq 2\sqrt{2}$ de donde $M = (2\sqrt{2})^2 = 8$
Y la parte A
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Es simplemente AM-GM en los últimos tres, es decir $\frac{1}{b}+\frac{y}{c}+\frac{1}{ax} \geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{abcx}}$ de donde la expresión siempre es mayor o igual que $3\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$
Si bien me parece que las cotas están bien, habría que proveer un ejemplo para demostrar que esos son efectivamente los mínimos. Por ejemplo, si no damos el ejemplo, podríamos decir que las expresiones son siempre al menos $0$, y si bien eso es correcto, nunca pueden valer $0$.
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drynshock

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por drynshock »

tuvie escribió: Lun 07 Oct, 2024 7:29 pm
drynshock escribió: Lun 07 Oct, 2024 7:15 pm La parte B es lo mismo que uno de los problemas del entrenamiento de cono de este año
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Por AM-GM: $\frac{y^2}{z}+\frac{z}{x^2} \geq 2\frac{y}{x}$

Y de nuevo por AM-GM $\frac{x}{y} + 2\frac{y}{x} \geq 2\sqrt{2}$ de donde $M = (2\sqrt{2})^2 = 8$
Y la parte A
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Es simplemente AM-GM en los últimos tres, es decir $\frac{1}{b}+\frac{y}{c}+\frac{1}{ax} \geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{abcx}}$ de donde la expresión siempre es mayor o igual que $3\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$
Si bien me parece que las cotas están bien, habría que proveer un ejemplo para demostrar que esos son efectivamente los mínimos. Por ejemplo, si no damos el ejemplo, podríamos decir que las expresiones son siempre al menos $0$, y si bien eso es correcto, nunca pueden valer $0$.
Si tenés razón, no lo hice por pajero ajjaj.
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Las igualdades de AM-GM se dan cuando todos los términos son iguales. Así que de eso sale el /los ejemplo/s.
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