Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Determinar el valor mínimo de $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ y determinar todos los valores de $(a,b,c,d)$ para los que se alcanza dicho mínimo.
Definimos\begin{align*}f:\mathbb{R}^4 & \to \mathbb{R} \\
(a,b,c,d) & \mapsto f(a,b,c,d)=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)
\end{align*}y\begin{align*}g:\mathbb{R}^4 & \to \mathbb{R} \\
(a,b,c,d) & \mapsto g(a,b,c,d)=a^2+b^2+c^2+d^2-1.
\end{align*}El problema nos pide entonces minimizar $f(a,b,c,d)$ sujeto a $g(a,b,c,d)=0$. Notemos que $g^{-1}(\{0\})=\mathbb{S}^3$, como $f$ es continua y $\mathbb{S}^3$ es compacto, entonces el mínimo se alcanza por Weierstrass. Usamos el Método de los Multiplicadores de Lagrange: Tenemos que si $(a,b,c,d)\in \mathbb{S}^3$ es tal que se alcanza el mínimo, entonces existe $\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ tal que $\nabla f(a,b,c,d)=\lambda \nabla g(a,b,c,d)$, esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones$$\left \{\begin{matrix}(b-c)(c-d)(b+d-2a) & = & 2\lambda a \\
(c-d)(d-a)(a+c-2b) & = & 2\lambda b \\
(a-b)(d-a)(b+d-2c) & = & 2\lambda c \\
(a-b)(b-c)(a+c-2d) & = & 2\lambda d \\
a^2+b^2+c^2+d^2 & = & 1.\end{matrix}\right .$$Sumando las primeras $4$ ecuaciones resulta $2\lambda (a+b+c+d)=0$, y como $\lambda \neq 0$, entonces $a+b+c+d=0$, es decir que $d=-a-b-c$.
Luego, el mínimo se alcanza en un punto de la forma $(a,b,c,d)=(a,b,c,-a-b-c)$, de modo que nos basta con minimizar $(a-b)(b-c)(c-(-a-b-c))((-a-b-c)-a)$ sujeto a $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=1$.
Pongamos $x=b+c$, $y=c+a$ y $z=a+b$ (esto es para que resulte más claro, no es necesario hacer el cambio de variable), entonces$$x^2+y^2+z^2=(b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=1,$$con lo que\begin{align*}(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) & =(a-b)(b-c)(c-(-a-b-c))((-a-b-c)-a) \\
& =(b-a)(b-c)(2c+a+b)(2a+b+c) \\
& =(x-y)(z-y)(x+y)(z+y) \\
& =\left (x^2-y^2\right )\left (z^2-y^2\right ) \\
& =\left (2x^2+z^2-1\right )\left (x^2+2z^2-1\right ) \\
& =(xz)^2+\frac{\left (4\left (x^2+z^2\right )-3\right )^2}{8}-\frac{1}{8} \\
& =(xz)^2+\frac{\left (1-4y^2\right )^2}{8}-\frac{1}{8} \\
& =((a+b)(b+c))^2+\frac{\left (1-4(c+a)^2\right )^2}{8}-\frac{1}{8} \\
& \geq -\frac{1}{8}.
\end{align*}Además, la igualdad se da si y sólo si$$((a+b)(b+c))^2+\frac{\left (1-4(c+a)^2\right )^2}{8}=0$$pero como ambos son no negativos, la igualdad se da si y sólo si $(a+b)(b+c)=0$ y $1-4(c+a)^2=0$, si y sólo si $(a+b)(b+c)=0$ y $(c+a)^2=\dfrac{1}{4}$.
Si $a+b=0$, entonces$$(b+c)^2=(a+b)^2+(b+c)^2=1-(c+a)^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$de modo que $b+c=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, pero como $a+b=0$, entonces $b=-a$, con lo que $c-a=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Además, $c+a=\pm \dfrac{1}{2}$.
Resolviendo los $4$ casos obtenemos $(a,c)=\left (\dfrac{1+\sqrt{3}}{4},\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}\right )$, $(a,c)=\left (\dfrac{\sqrt{3}-1}{4},\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4}\right )$, $(a,c)=\left (\dfrac{1-\sqrt{3}}{4},\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}\right )$ y $(a,c)=\left (\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4},\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\right )$.
Si $b+c=0$, de la misma forma que antes obtenemos $b=-c$ y las posibles soluciones $(a,c)=\left (\dfrac{1+\sqrt{3}}{4},\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}\right )$, $(a,c)=\left (\dfrac{\sqrt{3}-1}{4},\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4}\right )$, $(a,c)=\left (\dfrac{1-\sqrt{3}}{4},\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}\right )$ y $(a,c)=\left (\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4},\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\right )$.
Finalmente, notemos que si $b=-a$, entonces $d=-c$; y que si $b=-c$, entonces $d=-a$. Luego, el valor mínimo de $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ es $-\dfrac{1}{8}$ y se alcanza para los puntos de la forma $(a,b,c,d)=(a,-a,c,-c)$ y $(a,b,c,d)=(a,-c,c,-a)$, con $(a,c)=\left (\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4},\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\right )$, $(a,c)=\left (\dfrac{1-\sqrt{3}}{4},\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}\right )$, $(a,c)=\left (\dfrac{\sqrt{3}-1}{4},\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4}\right )$ ó $(a,c)=\left (\dfrac{1+\sqrt{3}}{4},\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}\right )$.
