OMEO 2020 NC P2

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Sandy

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OMEO 2020 NC P2

Mensaje sin leer por Sandy » Vie 07 Feb, 2020 1:36 pm

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos, decimos que una función $h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es dobletempo si $h(h(n))=2n$ para todo entero positivo $n$.
Hallar todos los enteros positivos $p$ tales que existe una función dobletempo que satisface $h(p)=2020$.
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

BrunZo

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Re: OMEO 2020 NC P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 07 Feb, 2020 7:12 pm

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Primero que nada, veamos que $h(2n)=2h(n)$.
Esto es claro ya que
$$h(2n)=h(h(h(n)))=2h(n)$$

Ahora, veamos que $2p=h(h(p))=h(2020)=4h(505)$, luego $p=2h(505)$, por lo que $2\mid p$.
Por otro lado, si $p=8k$ con $k$ entero, entonces $h(p)=8h(k)=2020$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, $8\not\mid p$.
Juntando ambas condiciones, tenemos lo que $2\mid p$, pero $8\not\mid p$, es decir, $p=2^nk$ con $n\in\{1,2\}$ y $k$ entero positivo impar.
Por último, si $k=505$, entonces $p=1010$ o $p=2020$.
En el primer caso, como $2p=h(h(p))=h(2020)$, vale que $h(2020)=2020$. En el segundo, como $h(p)=2020$, entonces $h(2020)=2020$.
Ahora, si esto último ocurre, entonces $h(h(2020))=h(2020)=2020$, pero esto es absurdo, pues el lado izquierdo es $4040$. $k\neq 505$

Veamos que esto es suficiente.
Dividamos a los números impares en parejas ordenadas de modo que $(k,505)$ sea una de ellas.
Para cada pareja $(a,b)$ y para todo $x$ entero no negativo, definimos
$$h(2^xa)=2^{x+2-n}b,\quad h(2^xb)=2^{x+n-1}a.$$
De este modo, si $m=2^xa$ con $a$ impar siendo el primer elemento de una pareja $(a,b)$, vale que
$$h(h(m))=h(h(2^xa))=h(2^{x+2-n}b)=2^{x+1}a=2m$$
Y si en cambio $m=2^xb$ con $b$ impar siendo el segundo elemento de una pareja $(a,b)$, entonces
$$h(h(m))=h(h(2^xb))=h(2^{x+n-1}a)=2^{x+1}b=2m$$
Más aún, vale que
$$h(p)=h(2^nk)=2^2505=2020$$

Y con esto demostramos que existe tal función si y sólo si $p=2^nk$ con $n\in\{1,2\}$ y $k$ entero positivo impar distinto de $505$.

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