Com partida del Uruguay - Final 2015 nivel 3

bolonia
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Com partida del Uruguay - Final 2015 nivel 3

Mensaje sin leer por bolonia » Vie 17 Ene, 2020 9:37 pm

Pedro escribió en el pizarrón una lista de cinco números. Luego, hizo las diez sumas posibles, cada una con dos sumandos tomados de su lista. Finalmente borró la lista original y dejó las diez sumas. Cuando llegó Ana, Pedro le solicitó que reconstruyera su lista de cinco números a partir de las sumas. Esas sumas eran $–5$, $–1$, $–8$, $–2$, $4$, $–3$, $3$, $1$, $7$ y $0$. ¿Puedes reconstruir la lista de Pedro?
(No se puede utilizer calculadora)

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Turko Arias

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Re: Com partida del Uruguay

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 17 Ene, 2020 9:56 pm

Este problema es también el Problema 1 Nivel 1 Provincial OMA 1997 :D

Y ya está en el archivo de enunciados acá
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Tomás Morcos Porras

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Re: Com partida del Uruguay - Final 2015 nivel 3

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Mié 19 Feb, 2020 1:33 am

Turko Arias escribió:
Vie 17 Ene, 2020 9:56 pm
Este problema es también el Problema 1 Nivel 1 Provincial OMA 1997 :D
Me di cuenta después de resolverlo xd
Spoiler: mostrar
Primero voy a ordenar la lista: $-8$, $-5$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $3$, $4$, $7$.
Llamemos a los cinco números iniciales $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$ tales que $a\leq b\leq c\leq d\leq e$ y vemos que, si dos son iguales, digamos $a$ y $b$, entonces su suma con otro, digamos $c$ es equivalente:
$$a=b\Rightarrow a+c=b+c$$
Y no hay dos números iguales en la lista de 10, por lo que $a<b<c<d<e$, entonces $a+b$ es la menor suma ($-8$), seguida de $a+c$ ($-5$), y $d+e$ es la mayor ($7$), con $c+e$ la anterior ($4$). Esto nos dice que:
$$a+b-a-c=-8+5\Rightarrow b-c=-3$$
$$d+e-c-e=7-4\Rightarrow d-c=3$$
$$d-c-b+c=3+3\Rightarrow d-b=6+2c$$
$$c+e-a-c=4+5\Rightarrow e-a=9$$
$$d+e-a-b=7+8\Rightarrow d-b=6$$
$$6+2c=6\Rightarrow c=0$$
Como $c=0$ y tenemos el valor de $c$ restado a cada número, tenemos: $a=-5$, $b=-3$, $c=0,$ $d=3$ y $e=4$
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

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