Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini »

El polinomio $P(x,y)$ es tal que para todo entero $n\geq 0$ cada uno de los polinomios $P(n,y)$ y $P(x,n)$ es o bien el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que $n$. ¿Es posible que el polinomio $P(x,x)$ tenga grado impar?
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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini »

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Consideramos $m$ como el exponente más grande que aparece en una $x$ y $l$ en una $y$, WLOG $m\geq l$.

Tenemos que
$P(x,y)=x^mP_m(y)+x^{m-1}P_{m-1}(y)+...+xP_1(y)+P_0(y)$

Donde $P_i(y)$ es un polinomio de una variable y $g(P_i(y))\leq l\leq m\Rightarrow g(x^iP_i(y))\leq m+i\leq 2m$ (1)

Ahora notemos que por esta condición "para todo entero $n\geq 0$, el polinomio $P(x,n)$ es o bien el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que $n$", $0, 1, ...., m-1$ son raices de $P_m(y)\Rightarrow m\geq g(P_m(y))\geq m\Rightarrow g(P_m(y))=m\Rightarrow g(x^mP_m(y))=2m$

Como $g(x^mP_m(y))=g(x^mP_m(x))=2m$ y $2m>g(x^{m-1}P_{m-1}(y)+...+xP_1(y)+P_0(y))\geq g(x^{m-1}P_{m-1}(x)+...+xP_1(x)+P_0(x))$

Tenemos que $g(P(x,x))=g(x^mP_m(x)+x^{m-1}P_{m-1}(x)+...+xP_1(x)+P_0(x))=2m$
Última edición por Joacoini el Mar 01 Nov, 2022 1:22 pm, editado 1 vez en total.
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EmRuzak

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

Mensaje sin leer por EmRuzak »

que es el grado de un polinomio de $2$ variables, por qué depende de las variables?
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Gianni De Rico

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

EmRuzak escribió: Dom 03 Oct, 2021 1:42 am que es el grado de un polinomio de $2$ variables, por qué depende de las variables?
En un polinomio de una variable, el grado es el mayor grado de entre todos los términos, y el grado de cada término es simplemente el exponente. En polinomios de $2$ variables (o de $n$ variables en general) pasa algo parecido.
El grado de cada término es la suma de los exponentes de cada variable, y el grado del polinomio es el mayor grado de entre todos los términos, por ejemplo, si tenemos el polinomio $P(x,y)=5xy+2x^2y+x^3y^4$, entonces el término $5xy$ tiene grado $1+1=2$, el término $2x^2y$ tiene grado $2+1=3$, y el término $x^3y^4$ tiene grado $3+4=7$, entonces el polinomio $P$ tiene grado $\max \{2,3,7\}=7$.

Que dependa de $n$ acá lo que te está diciendo es que cuando lo evaluás en $n$ (te queda un polinomio en $x$ o un polinomio en $y$) te mata las $y^k$ (o las $x^k$, depende) con $k>n$.
1  
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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