Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 28 Oct, 2019 11:42 pm

El polinomio $P(x,y)$ es tal que para todo entero $n\geq 0$ cada uno de los polinomios $P(n,y)$ y $P(x,n)$ es o bien el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que $n$. ¿Es posible que el polinomio $P(x,x)$ tenga grado impar?
NO HAY ANÁLISIS.

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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 29 Oct, 2019 12:02 am

Spoiler: mostrar
Consideramos $m$ como el exponente más grande que aparece en una $x$ y $l$ en una $y$, WLOG $m\geq l$.

Tenemos que
$P(x,y)=x^mP_m(y)+x^{m-1}P_{m-1}(y)+...+xP_1(y)+P_0(y)$

Donde $P_i(y)$ es un polinomio de una variable y $g(P_i(y))\leq l\leq m\Rightarrow g(x^iP_i(y))\leq m+i\leq 2m$ (1)

Ahora notemos que por esta condición "para todo entero $n\geq 0$, el polinomio P$(x,n)$ es o bien el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que $n$", $0, 1, ...., m-1$ son raices de $P_m(y)\Rightarrow 2m\geq g(P_m(y))\geq 2m\Rightarrow g(P_m(y))=m\Rightarrow g(x^mP_m(y))=2m$

Como $g(x^mP_m(y))=g(x^mP_m(x))=2m$ y $2m>g(x^{m-1}P_{m-1}(y)+...+xP_1(y)+P_0(y))\geq g(x^{m-1}P_{m-1}(x)+...+xP_1(x)+P_0(x))$

Tenemos que $g(P(x,x))=g(x^mP_m(x)+x^{m-1}P_{m-1}(x)+...+xP_1(x)+P_0(x))=x$
NO HAY ANÁLISIS.

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