Si alguno de los reales es $0$ (suponemos c), nos queda que $ab=1$ y $a^2b=a=b$, de donde las únicas soluciones son $(1, 1, 0)$, $(-1, -1, 0)$ y todas sus permutaciones.
Si ningún real es $0$, notemos que $a^2b+c=b^2c+a$ implica $a^2b-a=b^2c-c$, pero notemos que $a^2b-a=a(ab-1)=a(ab-ab-bc-ca)=-abc-a^2c$. Entonces, tenemos que $-abc-a^2c=b^2c-c$. Dividiendo por $c$ (que no es $0$), tenemos luego que $-ab-a^2=b^2-1$, y que $1=a^2+ab+b^2$.
Análogamente desprendemos que $b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2=1$. Sumando las tres igualdades, y usando que $ab+bc+ca=1$, tenemos que $a^2+b^2+c^2=1=ab+bc+ca$. Luego, $2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2ca$ y $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$, de donde $a=b=c$. Reemplazando en $ab+bc+ca=1$ obtenemos que $a$, $b$ y $c$ son $\sqrt{\frac{1}{3}}$ o $-\sqrt{\frac{1}{3}}$, y es facil ver que estos valores verifican.
