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ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 2 - P7

Publicado: Mié 13 Mar, 2019 10:40 pm
por Nando
Considere el siguiente polinomio de grado 2047:
$P(x) = (x + 1)(x^2 + 2)(x^4 + 4) \cdots (x^{1024} + 1024)$:
Calcule el coefciente de $x^{2018}$ al desarrollar dicho polinomio.

Re: ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 2 - P7

Publicado: Dom 17 Mar, 2019 5:36 pm
por BrunZo
Solución:
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Notemos que $P(x)$ en su forma polinómica se puede construir sumando los $2^{11}$ términos formados al multiplicar un término de cada uno de los facotres del producto dado. Además, el factor $x^{2018}$ sólo se va a obtener una vez (ya que todo número se puede escribir de una sola forma como suma de potencias de $2$.) De hecho, $2018=11111100010_2$, de modo que, nuestro coeficiente será $1\cdot 4\cdot 8\cdot 16=512$ (todos los que poseen un $0$ serán los factores en los que elijamos la constante).