ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P5

[Nando]

Al dividir el polinomio $P(x)$ entre $(x -1)^2$ y $(x + 1)^2$ se obtienen los restos $1 + 2x$ y $1 - 2x$,
respectivamente. Sea $R(x)$ el resto que se obtiene al dividir $P(x)$ entre $(x^2 - 1)^2$. Calcule el
valor de $R(12)$.

[DiegoLedesma]

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Los 3 casos que se presentan, podemos escribirlos como:
$P(x)=(x^{2}-2x+1).C_{1}(x)+2x+1$; $P(x)=(x^{2}+2x+1).C_{2}(x)-2x+1$; $P(x)=(x^{2}-1)^{2}.C_{3}(x)+R(x)$
Sean $C_{1}(x)$ y $C_{2}(x)$ 2 monomios.Tomando los 2 primeros casos, igualando, aplicando propiedad distributiva y cancelando ambos 1, se tiene: $x^{2}.C_{1}(x)-2xC_{1}(x)+ C_{1}(x)+2x=x^{2}.C_{2}(x)+2xC_{2}(x)+ C_{2}(x)-2x$. Agrupando por términos semejantes: $4x=(C_{2}(x)-C_{1}(x)).x^{2}+(C_{2}(x)+C_{1}(x)).2x+(C_{2}(x)-C_{1}(x))$
De 1º y 3º términos, se observa que: $C_{2}(x)-C_{1}(x)=0$; y del 2º término: $C_{2}(x)+C_{1}(x)=2$
Resolviendo el sistema, se obtiene $C_{1}(x)=1$; $C_{2}(x)=1$
En consecuencia, 1º y 2º caso quedarían:
$P(x)=(x^{2}-2x+1).1+2x+1=x^{2}+2$
$P(x)=(x^{2}+2x+1).1-2x+1=x^{2}+2$
Por lo que, en el 3º caso: $x^{2}+2=(x^{2}-1)^{2}.C_{3}(x)+R(x)$, pero por ser el divisor mayor al dividendo, podríamos expresar este caso como $P(x)=(x^{2}-1)^{2}.0+R(x)$, por lo que $P(x)=R(x)=x^{2}+2$
\therefore $R(12)=12^{2}+2=146$

[tuvie]

Agrupando por términos semejantes: $4x=(C_{2}(x)-C_{1}(x)).x^{2}+(C_{2}(x)+C_{1}(x)).2x+(C_{2}(x)-C_{1}(x))$
De 1º y 3º términos, se observa que: $C_{2}(x)-C_{1}(x)=0$; y del 2º término: $C_{2}(x)+C_{1}(x)=2$
Resolviendo el sistema, se obtiene $C_{1}(x)=1$; $C_{2}(x)=1$[/spoiler]

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Eso no es correcto, dado que en el termino $C_2(x)-C_1(x)$ podrían aparecer términos de cualquier grado. Por ejemplo $P(x) = (x^2-1)^2 + x^2 + 2$ satisface lo pedido por el enunciado.

[Vladislao]

Es usar el Teorema Chino del Resto para polinomios (meditar sobre esto).

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Tenemos $a(x) = (x-1)^2$ y $b(x) = (x+1)^2$, y sabemos que:
$$P(x) \equiv 1+2x \equiv 2+x^2 \pmod{a(x)}$$
$$P(x) \equiv 1-2x \equiv 2+x^2 \pmod{b(x)}$$

Como $a(x)$ y $b(x)$ son coprimos, por el Teorema Chino del Resto, sigue que:

$$P(x) \equiv 2+x^2 \pmod{a(x)b(x)},$$
y $2+x^2$ es efectivamente el resto, dado que el grado de $a(x)b(x)$ es 4. Se concluye que el resultado es $2+12^2=146$.

Se puede refrasear todo diciendo que $P(x)-x^2-2$ es múltiplo al mismo tiempo de $a(x)$ y $b(x)$, y como ellos son coprimos (no tienen raices en comun) el mismo debe ser multiplo del producto de ambos.