ONEM 2015 - Fase 1 - Nivel 3 - P20

[Nando]

Sean $x,y,z$ reales positivos tales que$$\begin{align*}
x^2y+y^2 & =2z \\
y^2z+z^2 & =3x \\
z^2x+x^2 & =4y \\
\end{align*}$$Calcule el valor de $xyz$.

[Nando]

Una solución que me contaron

Spoiler: mostrar

Multipliquemos de manera conveniente para tener en el lado derecho de las ecuaciones $xyz$ y luego los sumamos
$x^3y^2+xy^3=2xyz$
$y^3z^2+yz^3=3xyz$
$z^3z^2+zx^3=4xyz$
$x^3y^2+xy^3+y^3z^2+yz^3+z^3z^2+zx^3=9xyz$ $(*)$

Ahora multipliquemos las tres ecuaciones
$(x^2y+y^2)(y^2z+z^2)(z^2x+x^2)=(2z)(3x)(4y)$
$xyz(x^2+y)(y^2+z)(z^2+x)=24xyz$, $xyz> 0$
$(x^2+y)(y^2+z)(z^2+x)=24$, operando obtenemos
$(xyz)^2+(x^2z^3+y^3z^2+yz^3+x^3y^2+x^3z+y^3x)+xyz=24$ $(**)$

$(*)$ en $(**)$
$(xyz)^2+9xyz+xyz=24$
$(xyz)^2+10xyz=24$
$xyz=2\vee xyz=-12$

$\therefore xyz=2$