ONEM 2015 - Fase 1 - Nivel 3 - P20

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Nando

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ONEM 2015 - Fase 1 - Nivel 3 - P20

Mensaje sin leer por Nando » Lun 04 Mar, 2019 6:06 pm

Sean $x$; $y$; $z$ reales positivos tales que
$x^2y + y^2 = 2z$;
$y^2z + z^2 = 3x$;
$z^2x + x^2 = 4y$:
Calcule el valor de $xyz$.

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Re: ONEM 2015 - Fase 1 - Nivel 3 - P20

Mensaje sin leer por Nando » Vie 08 Mar, 2019 5:05 pm

Una solución que me contaron
Spoiler: mostrar
Multipliquemos de manera conveniente para tener en el lado derecho de las ecuaciones $xyz$ y luego los sumamos
$x^3y^2+xy^3=2xyz$
$y^3z^2+yz^3=3xyz$
$z^3z^2+zx^3=4xyz$
$x^3y^2+xy^3+y^3z^2+yz^3+z^3z^2+zx^3=9xyz$ $(*)$

Ahora multipliquemos las tres ecuaciones
$(x^2y+y^2)(y^2z+z^2)(z^2x+x^2)=(2z)(3x)(4y)$
$xyz(x^2+y)(y^2+z)(z^2+x)=24xyz$, $xyz> 0$
$(x^2+y)(y^2+z)(z^2+x)=24$, operando obtenemos
$(xyz)^2+(x^2z^3+y^3z^2+yz^3+x^3y^2+x^3z+y^3x)+xyz=24$ $(**)$

$(*)$ en $(**)$
$(xyz)^2+9xyz+xyz=24$
$(xyz)^2+10xyz=24$
$xyz=2\vee xyz=-12$

$\therefore xyz=2$

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