Selectivo IMO 2015 - Problema 3

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Vladislao

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Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 11 May, 2015 6:53 pm

Hallar todas las funciones que satisfacen:
[math]
para todos [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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JPablo
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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por JPablo » Lun 11 May, 2015 9:38 pm

Hint:
Spoiler: mostrar
Hallar [math], [math] y los posibles valores de [math], y separar en casos. Hay una forma de relacionar [math] con [math] :D

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ésta

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por ésta » Lun 11 May, 2015 10:08 pm

Spoiler: mostrar
Si reemplazamos [math] queda:
[math].
Si [math], podemos despejar [math] y queda:
[math]
Luego [math] es constante, pero reemplazando [math] en la ecuacion queda el lado izquierdo constante y el derecho no. Absurdo.
Entonces [math].

Volviendo a [math] usando que [math] ahora queda [math].
Ahora reemplazando [math] queda:
[math].
Luego [math] o [math].

Si [math],
Reemplazando por [math], [math] queda:
[math].
Luego [math] (1).

Desde ahora [math].
Reemplazando por [math] queda:
[math].
En particular, [math].
Luego [math] (2).

Luego si miramos [math], usando (1) obtenemos:
[math].
Y usando (2) tenemos:
[math] (3).

Ahora reemplazamos [math] (notando que [math]), queda:
[math].
Usando (3) queda:
[math].
[math].
[math].
[math].
[math].
Luego la única solución para [math] es [math] y es fácil ver que funciona.

El caso [math] queda como ejercicio al lector.
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Emerson Soriano

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 12 May, 2015 2:02 pm

Spoiler: mostrar
En primer lugar recordemos la ecuación funcional clásica de Cauchy: Si [math], para cualesquiera reales [math], entonces [math], para todo [math] y [math] constante.

Con respecto al problema, si [math], entonces [math], para todo real [math]. Note que si [math], entonces [math], es decir, existe una constante [math] tal que [math], para todo real [math], pero reemplazando en la ecuación original se observa que [math], para todo reales [math], lo cual es absurdo. Por lo tanto, [math].

Por otro lado, para [math], llegamos a que [math], es decir, [math] o [math], por eso analizaremos dos casos:

Primer Caso: Si [math], hacemos [math] en la ecuación original y llegamos a que [math], para todo real [math]. Luego, por [math] se sabe que [math], para todo reales [math], y esta ecuación al compararla con la original llegamos a que [math], para todo reales [math]. Por lo tanto, [math], para todo [math] real y alguna constante [math]. Por [math] también podemos ver que [math], es decir, [math], pero por [math] tenemos que [math], por lo tanto [math], en consecuencia, [math], para todo real [math].

Segundo Caso: Si [math], entonces haciendo [math] en la ecuación original llegamos a que [math], luego, según [math] sabemos que [math], para todo reales [math], y esta última ecuación al compararla con la original, llegamos a que [math], para todo reales [math]. Hagamos [math], notemos que [math], para todo reales [math], por lo tanto [math], es decir, [math], para todo real [math] y alguna constante [math]. Notemos en [math] que [math], o sea, [math], luego por [math] tenemos que [math], por lo tanto [math], en consecuencia, [math], para todo real [math].

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Vladislao

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 12 May, 2015 7:24 pm

Emerson Soriano escribió:En primer lugar recordemos la ecuación funcional clásica de Cauchy: Si [math], para cualesquiera reales [math], entonces [math], para todo [math] y [math] constante.
Eso no es cierto.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Emerson Soriano

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 12 May, 2015 7:40 pm

falta la continuidad?

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Vladislao

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 12 May, 2015 7:45 pm

Emerson Soriano escribió:falta la continuidad?
No importa qué es lo que hace falta (en realidad es muy sutil/avanzado: que [math] sea medible)... Sólo saber que el argumento apoyado en la afirmación que hiciste no sirve.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

lucasdeamorin

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por lucasdeamorin » Mar 12 May, 2015 8:12 pm

Solucion mas feita:
Spoiler: mostrar
Fijemonos que tomando y=0 queda : [math] [math] es costante o [math]
Es facil ver que la constante no cumple lo pedido [math] [math] [math] [math]
Tomando x=y=1 se llega a [math] [math] [math] [math] hay dos casos:

CASO 1: [math]:
Tomando x=1 se llega[math] (1) [math]como para 1 la funcion vale 1,[math] [math]Tomemos un t racional[math]vale que t=p/q para algunos [math],p [math] [math]tomemos x=p/q e y=q:[math]
[math] [math]
Tomemos y=1/x [math] queda [math]
Fijemonos que (1)implica que para todo [math], [math] (2)
Tomemos x,y,z [math], con y<z
[math]
[math] tomando x= 1/z queda:

[math]
[math]

Pero por el enunciado:

[math] [math] [math] si z es racional y negativo

Y a su ves al ser z negativo y racional, [math] es negativo [math] [math]
[math] como los racionales son suficientemente densos en los reales, [math],[math]

[math] por (2), [math],[math](3)
[math] tomando y=.1 en la ecuacion original se llega a:

[math] [math] por (3) tenemos que [math],[math]

Es facil ver que esta funcion cumple lo pedido por el enunciado.

CASO 2: [math]: Se deja como ejercicio para el lector.
Si X tiende a [math], [math] se seca.

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Emerson Soriano

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 12 May, 2015 8:55 pm

Una corrección a mi solución:
Spoiler: mostrar
Se sabe que [math] y [math] o [math]. Analizaremos dos casos:

Primer Caso: Cuando [math], se llega fácilmente a [math], luego, comparando con la ecuación original se llega a que [math], para todos los reales [math]. Luego al utilizar [math] y haciendo [math] tenemos que [math], es decir, [math], para todo [math]. Si [math] se llega a que [math] Haciendo [math] en [math] llegamos a que [math], así que sólo nos preocuparemos por calcular [math], para [math].

En [math] tenemos que [math], para todo real [math], luego, si [math], entonces [math] y [math], por lo tanto, [math], pero según [math], se sabe que [math], por lo tanto, [math], es decir, [math], lo cual contradice [math]. Del mismo modo se analiza para cuando [math]. Por lo tanto, [math], para todo [math], y por ende [math], para todo real [math].
Parte b)
Spoiler: mostrar
Si [math], entonces es fácil llegar a que [math], para todo real [math]. Usando este resultado y la ecuación original llegamos a que [math], para todos los reales [math]. Por otro lado, tenemos que [math] y [math], para todo real [math], y [math], para todo real [math]. Hagamos [math], luego obtenemos nuevas ecuaciones: [math] y [math]. Como ya sabemos que [math], entonces a partir de ahora sólo nos enfocaremos en los [math]. Sabemos que [math], pero [math] y [math], luego al reemplazar estos resultados en dos y despejando [math] llegamos a que [math], y por ende, [math], para todo real [math].

LouisM
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P1 - Selectivo IMO 2017 Peru

Mensaje sin leer por LouisM » Sab 09 Feb, 2019 12:21 am

Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que
$$f(xy − 1) + f(x)f(y) = 2xy − 1,$$
para todos $x, y \in \mathbb{R}.$

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