IMO 2001 - P2

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Gianni De Rico

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IMO 2001 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Demostrar que $$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geqslant 1$$ para todos reales positivos $a,b,c$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Dauphineg

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Re: IMO 2001 - P2

Mensaje sin leer por Dauphineg »

Spoiler: mostrar
Vamos a probar que
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$o equivalentemente
$\left (\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}\geq \left (\frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}}} \right )^{2}\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+8bc}\geq \frac{a^{\frac{8}{3}}}{\left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2}}\Leftrightarrow \left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2} \geq \left (a^{2}+8bc \right )a^{\frac{2}{3}} $ $(\ast)$
Analizamos la diferencia de cuadrados siguiente $ \left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2}-\left (a^{\frac{4}{3}} \right )^{2}=\left (b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right ).\left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}}+a^{\frac{4}{3}} \right )$ y aplicando AM.GM. en cada uno de los últimos $2$ paréntesis obtendremos $ \left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2}-\left (a^{\frac{4}{3}} \right )^{2}\geq$
$\geq \left [2.\sqrt{b^{\frac{4}{3}}.c^{\frac{4}{3}}} \right ].\left [4\sqrt[4]{a^{\frac{4}{3}}.b^{\frac{4}{3}}. c^{\frac{4}{3}}. a^{\frac{4}{3}}} \right ]=8.b^\frac{2}{3}.c^\frac{2}{3}.a^\frac{1}{3}.b^\frac{1}{3}.c^\frac{1}{3}.a^\frac{1}{3}=8.a^\frac{2}{3}.b.c$ y despejando tendremos que
$\left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2} \geq \left (a^{\frac{4}{3}} \right )^{2}+8.a^\frac{2}{3}.b.c \Rightarrow \left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2} \geq a^{\frac{8}{3}} +8.a^\frac{2}{3}.b.c \Rightarrow \left (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+ c^{\frac{4}{3}} \right )^{2} \geq (a^2 +8.b.c). a^\frac{2}{3}$ y se probo $(\ast) $, de igual modo podemos probar que $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}\geq \frac{b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$ y también que $\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq \frac{c^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$ y entonces sumando las $3$ desigualdades llegamos a que $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}+\frac{b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}+\frac{c^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}=\frac{{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}}{{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}}=1$
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