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Regional 2018 N2 P1

Publicado: Sab 15 Sep, 2018 4:18 pm
por Reflexion
Se tiene un tablero de $2$ filas y $99$ columnas con dos casillas negras, como en la figura. En las casillas blancas de este tablero están escritas en la primera fila, todos los números enteros desde $1$ hasta $99$ en orden creciente de izquierda a derecha, y en la segunda fila, todos los números enteros desde $100$ hasta $196$, en orden creciente de derecha a izquierda.

Imagen

Se consideran las $97$ parejas de números que están en una misma columna, uno arriba del otro.
Determinar todas las parejas en las que el número de la segunda fila es múltiplo del número de la primera fila.

Re: Regional 2018 N2 P1

Publicado: Sab 15 Sep, 2018 4:18 pm
por Reflexion
Ya que no lo subían :P

Re: Regional 2018 N2 P1

Publicado: Sab 15 Sep, 2018 9:01 pm
por BrunoDS
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Notemos que la suma de cada pareja es siempre igual a $198$, ya que los números de la primera fila van aumentando en $1$ y los números de la segunda fila van disminuyendo en $1$, de izquierda a derecha, y la primera pareja suma: $2+196=198$.

Sea $k$ un número de la primera fila, con $2\le k\le 98$. El número correspondiente a su pareja es entonces: $198-k$. Luego, queremos que:

$k\mid198-k \Leftrightarrow k\mid 198$.

Entonces $k$ debe ser un divisor de $198$, que son $12$, sabiendo que la factorización única en primos de $198$ es: $198=2×3^2×11$. De estos, sólo nos importa los que son mayores o iguales que $2$ y menores o iguales que $98$.

Por lo tanto, todos los posibles valores de $k$ son los siguientes $9$ (con sus respectivas parejas $198-k$):

$k\in \{2,3,6,9,11,18,22,33,66\}$


Re: Regional 2018 N2 P1

Publicado: Sab 15 Sep, 2018 9:14 pm
por DiegoLedesma
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Sabiendo que $a\mid b$ $\Leftrightarrow$ $a\mid (b-a)$, y aplicado a este problema:
$x\mid (198-x)$ $\Rightarrow$ $x\mid 198$. Siendo $198=2.3^{^2}.11$, generamos todas las posibilidades (teniendo en cuenta que $2\leq x\leq 98$), por lo tanto $x=\left \{ 2,3,6,9,11,18,22,33,66,99 \right \}$. Luego sabiendo que la suma de ambas filas es $198$, las parejas $(x,y)$ que cumplen lo pedido, son 9: (2,196),(3,195),(6,192),(9,189),(11,187),(18,180),(22,176),(33,165) y (66,132).