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Regional 2018 N1 P1

Publicado: Jue 13 Sep, 2018 5:08 pm
por Joacoini
Con los $20$ números enteros comprendidos entre $1$ y $20$ inclusive, y sin repeticiones, hay que formar la mayor cantidad posible de fracciones de modo que el resultado de la suma de todas esas fracciones sea un número entero.

ACLARACIÓN: Las fracciones son los números $\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ enteros, y $b\neq 0$. Cada fracción usa exactamente dos números, uno en el numerador y el otro en el denominador.

Re: Regional 2018 N1 P1

Publicado: Jue 13 Sep, 2018 11:46 pm
por maxiR
Bastante complicado y molesto
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a mi me dio con 8, un ejemplo es 15/5,4/2,6/3,20/10,14/7,16/8,18/9,17/1.como todas las fracciones son enteras tambien su suma.falta la demostracion de que no se puede con 9 y 10 , pero ahora mismo no la recuerdo , si se que se trataba que no podia haber mas de un numero del conjunto {11,13,17,19}entre denominadores o denominadores de las fracciones

Re: Regional 2018 N1 P1

Publicado: Vie 14 Sep, 2018 12:34 am
por Mateo Bonacossa
Me dió de resultado que como mayor cantidad de fracciones, de modo que su suma dé un número entero, es de 10.
En este problema, primero hice que a los números primos mayores a 10 se le pueda buscar un divisor que dé un número, ya sea con coma o sin coma, que al sumarle los demás números primos mayores a 10 divididos por otros números, dé un número entero.
Entonces, después de ir probando número por número e ir sumando las fracciones me dió que: 11/4 + 13/5 + 17/10 + 19/20= 8
Luego como me sobraban 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 16 y 18; fui probando fracciones y que las sumas de ellas den un número entero.
Y al final me quedó: 11/4+13/5+17/10+19/20+18/2+9/3+12/6+14/7+15/1+16/8= 41 (10 fracciones)

Re: Regional 2018 N1 P1

Publicado: Sab 15 Sep, 2018 1:23 am
por ElCatetoDeNos
Como mencionaron previamente, bastante complicado para ser una pregunta 1. Me sorprendió el tiempo que me llevó completarla.
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El resultado es 10, o sea, usando todos los números. La estrategia que utilicé fue poner solamente fracciones que sean múltiplos de 0.25 (15/20 + 9/18 + 17/2 + 19/1 + 12/16 + 7/14 + 8/4 + 3/6). Como pueden observar, el resultado parcial da 32.5, sobrándonos los números 5, 10, 11 y 13. Si bien no puedo crear dos fracciones en donde sendas sean múltiplos de 1/4, no hay que rendirse, pues 13/10 + 11/5 = 1,3 + 2,2 = 3,5. Lo sumamos al resto de fracciones y... ¡voilá! Nuestro número es 36, y usando todas las fracciones.
Algo interesante de este problema es que, aun usando la misma cantidad de fracciones que en la solución, se pueden obtener distintos resultados.

Re: Regional 2018 N1 P1

Publicado: Sab 15 Sep, 2018 11:29 am
por RESCATEMATEMATICO