Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

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Violeta

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Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Ago, 2018 2:17 pm

Hallar el mayor valor posible de $a^3b+b^3a$ si $a,b$ son reales nonegativos tales que $a+b=3$.
Última edición por Violeta el Dom 12 Ago, 2018 3:50 pm, editado 1 vez en total.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

jujumas

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 12 Ago, 2018 3:34 pm

Asumo que el problema dice mayor.

Solución:
Spoiler: mostrar
$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)=ab((a+b)^2-2ab)=ab(9-2ab)=2ab(\frac{9}{2}-ab)$.

Luego, por AM-GM tenemos que $\frac{9}{4} = \frac{ab + (\frac{9}{2}-ab)}{2} \geq \sqrt{ab(\frac{9}{2}-ab)}$. Luego, $a^3b+ab^3=2ab(\frac{9}{2}-ab) \leq 2(\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{8}$. Tomando $a=b=\frac{3}{2}$ obtenemos el máximo deseado.

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Violeta

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Ago, 2018 3:51 pm

jujumas escribió:
Dom 12 Ago, 2018 3:34 pm
Asumo que el problema dice mayor.

Solución:
Spoiler: mostrar
$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)=ab((a+b)^2-2ab)=ab(9-2ab)=2ab(\frac{9}{2}-ab)$.

Luego, por AM-GM tenemos que $\frac{9}{4} = \frac{ab + (\frac{9}{2}-ab)}{2} \geq \sqrt{ab(\frac{9}{2}-ab)}$. Luego, $a^3b+ab^3=2ab(\frac{9}{2}-ab) \leq 2(\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{8}$. Tomando $a=b=\frac{3}{2}$ obtenemos el máximo deseado.
Sí, dice mayor, mala mía. Es un problema trivial, de verdad.
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