OMCC 2018 - P5

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Gianni De Rico

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OMCC 2018 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 1:25 am

Sea $n$ un número entero tal que $1<n<2018$. Para cada $i=1,2,\ldots ,n$ se define el polinomio $$S_i(x)=x^2-2018x+l_i$$ donde $l_1,l_2,\ldots ,l_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\ldots +S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demuestre que al menos uno de los números $l_1,l_2,\ldots ,l_n$ es mayor o igual que $2018$.
[math]

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Fran5

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Re: OMCC 2018 - P5

Mensaje sin leer por Fran5 » Mié 18 Jul, 2018 4:10 pm

Yo no se si lei mal o que
Spoiler: mostrar
Observemos que

$S(x) = \sum_{i=1}^{n} S_i(x) = \sum_{i=1}^n x^2 - 2018x + l_i = nx^2 - 2018nx + \sum_{i=0}^nl_i$

Luego, si $S(x)$ tiene a los más dos raíces, y si una es real, la otra también.

Luego, si $S(x)=0 \iff nx^2 - 2018nx + \sum_{i=1}^{n} l_i = 0 \iff x^2 -2018x + L = 0$,

donde $L = \dfrac{\sum l_i}{n}$

Si $r$ es nuestra raíz, tenemos que $r = \frac{2018 \pm \sqrt{2018^2 - 4L}{2}}$ es entero.

En particular $2018^2 - 4L = (2k)^2$, de modo que $L = 1009^2 - k^2 = (1009+k)(1009-k)$.

Es claro que $0 \leq k < 1009$. Para $k < 1008$ obtenemos $L \geq 2 (1009+k) z > 2018$. Luego algun $l_i$ debe serlo.

Para $k = 1008$ obtenemos $L = 2017$. Como $n>1$ hay algún $l_i$ mayor a $2017$ pues son distintos.

La solución está completa
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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