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Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $a^2-bc$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $2a+b+c$ es un número compuesto.

Una solución alternativa:

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Sea $m\in \mathbb{N}_0$ tal que $a^2-bc=m^2$. Supongamos que $2a+b+c$ no es compuesto. Como $2a+b+c\geq 2+1+1=3$, entonces $2a+b+c$ es un primo que llamaremos $p$. Se sigue que $b=p-c-2a$, de donde (reemplazando en la primera igualdad) obtenemos $a^2-\left (p-c-2a\right )c=m^2$, que se puede reescribir como $\left (a+c-m\right )\left (a+c+m\right )=pc$. De aquí surge que $a+c-m>0$. Además, como $p$ es primo entonces $p\mid a+c-m$ ó $p\mid a+c+m$.

Pero, como $m=\sqrt{a^2-bc}<\sqrt{a^2}=a$ entonces $0<a+c-m\leq a+c+m<a+c+a=2a+c<2a+b+c=p$. Absurdo, pues entonces $p$ no divide ni a $a+c-m$ ni a $a+c+m$, ya que ambos son números naturales menores que $p$. $\blacksquare$