Cuadrados

sfreghy
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Mensaje sin leer por sfreghy » Mié 06 Jun, 2018 5:44 pm

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $a^2-bc$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $2a+b+c$ es un número compuesto.

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MateoCV

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Re: Cuadrados

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 06 Jun, 2018 7:47 pm

$2^{77232917}-1$ es primo

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JPablo
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Re: Cuadrados

Mensaje sin leer por JPablo » Mié 20 Jun, 2018 1:42 pm

Una solución alternativa:
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Sea $m\in \mathbb{N}_0$ tal que $a^2-bc=m^2$. Supongamos que $2a+b+c$ no es compuesto. Como $2a+b+c\geq 2+1+1=3$, entonces $2a+b+c$ es un primo que llamaremos $p$. Se sigue que $b=p-c-2a$, de donde (reemplazando en la primera igualdad) obtenemos $a^2-\left (p-c-2a\right )c=m^2$, que se puede reescribir como $\left (a+c-m\right )\left (a+c+m\right )=pc$. De aquí surge que $a+c-m>0$. Además, como $p$ es primo entonces $p\mid a+c-m$ ó $p\mid a+c+m$.

Pero, como $m=\sqrt{a^2-bc}<\sqrt{a^2}=a$ entonces $0<a+c-m\leq a+c+m<a+c+a=2a+c<2a+b+c=p$. Absurdo, pues entonces $p$ no divide ni a $a+c-m$ ni a $a+c+m$, ya que ambos son números naturales menores que $p$. $\blacksquare$

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