Selectivo de IMO 2018 - Problema 5

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Matías V5

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Selectivo de IMO 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 04 May, 2018 8:00 pm

Consideramos la sucesión $a_1, a_2, \ldots$ definida por
$a_n = \displaystyle \frac1n \left( \left\lfloor \frac n1 \right\rfloor + \left\lfloor \frac n2 \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac nn \right\rfloor \right)$
para todo entero $n \geq 1$.
a) Demostrar que $a_{n+1} > a_n$ para infinitos valores de $n$.
b) Determinar si $a_{n+1} < a_n$ para infinitos valores de $n$.
Aclaración. $\lfloor x \rfloor$ denota la parte entera del número $x$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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enigma1234

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Re: Selectivo de IMO 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por enigma1234 » Sab 05 May, 2018 11:59 am

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Solución:
20180505_120829-1.jpg
20180505_120846-1.jpg
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
One in a millon...my lucky strike! :D

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Joacoini

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Re: Selectivo de IMO 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 05 May, 2018 1:02 pm

Inciso B
Spoiler: mostrar
Sea $S_n$ lo que esta entre paréntesis en el enunciado, si $j$ tiene $d$ divisores $S_j=S_{j-1}+d$ y como cada número mayor a $1$ tiene al menos 2 divisores $S_n\geq S_{n-1}+2$ (1).
$S_6>2\times 6$, por eso y (1) si $k$ es un natural mayor a $6$, $S_k>2k$
Sea $p$ un primo mayor a 6 (los cuales son infinitos), como solo tiene $2$ divisores $S_{p}=S_{p-1}+2$
$a_{p-1}=\frac{S_{p-1}}{p-1}$ y $a_{p}=\frac{S_{p-1}+2}{p}$
Como $p$ es mayor a $6$.
$S_p>2p$
Restamos $S_p$ en ambos lados.
$0>2p-S_p$
Sumamos $S_{p-1}p$ en ambos lados
$S_{p-1}p>S_{p-1}p+2p-S_p=S_{p-1}p+2p-S_{p-1}-2=(S_{p-1}+2)(p-1)$
Y terminamos dividiendo ambos lados por $p(p-1)$
$a_{p-1}=\frac{S_{p-1}}{p-1}>\frac{S_{p-1}+2}{p}=a_{p}$
NO HAY ANÁLISIS.

Nowhereman

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Re: Selectivo de IMO 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Nowhereman » Sab 26 May, 2018 11:58 am

enigma1234 escribió:
Sab 05 May, 2018 11:59 am
Spoiler: mostrar
Solución:20180505_120829-1.jpg
20180505_120846-1.jpg
Spoiler: mostrar
Me parece que no esta permitido usar limites en OMA

tuvie

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Re: Selectivo de IMO 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 26 May, 2018 12:48 pm

Nowhereman escribió:
Sab 26 May, 2018 11:58 am
enigma1234 escribió:
Sab 05 May, 2018 11:59 am
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Solución:20180505_120829-1.jpg
20180505_120846-1.jpg
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Me parece que no esta permitido usar limites en OMA
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Que use límite es algo anecdótico, fijate que lo único que necesita es que exista $n$ tal que $1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}>c$. Eso es algo que se puede pensar y sale sin nada.

Más allá de eso, en mi opinión, es perfectamente válido usar limite. Lo que sí creo, es que cuando uno usa este tipo de cosas (como “matar a cuentas” un problema de geomtría, con complejos por ejemplo) quizás los jurados son más puntillosos con la corrección de la solución.

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