Comparto un bonito problema de Ecuaciones Funcionales.

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Emerson Soriano

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Comparto un bonito problema de Ecuaciones Funcionales.

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mié 24 Ene, 2018 11:47 pm

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función no constante. Probar que existen números reales $a$ y $b$ tales que $f(a+b)<f(ab)$.

Matías

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Re: Comparto un bonito problema de Ecuaciones Funcionales.

Mensaje sin leer por Matías » Jue 25 Ene, 2018 10:23 am

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Supongamos que es falsa la afirmación:
Si $a=0$ nos queda que $f(b)<f(0)$, entonces tenemos que $f(b)\geq f(0)$ $\forall b\in R$
Si $a=-b$ nos queda que $f(0)<f(-a^2)$, entonces tenemos que $f(b)=f(0)$ $\forall b\leq 0$
Pero como $f$ no es constante, existe algún real positivo $c$ tal que $f(c)>f(0)$
Si $a=b=-\sqrt{c}$ nos queda que $f(-2\sqrt{c})<f(c)$ pero como $-2\sqrt{c}$ es negativo $f(-2\sqrt{c})=f(0)$ y tenemos que $f(c)>f(0)$ (absurdo), por lo tanto la afirmación es verdadera.
Última edición por Matías el Jue 25 Ene, 2018 5:43 pm, editado 1 vez en total.
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MateoCV

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Re: Comparto un bonito problema de Ecuaciones Funcionales.

Mensaje sin leer por MateoCV » Jue 25 Ene, 2018 3:37 pm

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