Solo una vez

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Pinga2005
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Solo una vez

Mensaje sin leer por Pinga2005 »

Sea [math] una sucesión de enteros que tiene infinitos
términos positivos e infinitos términos negativos. Supongamos que para cada
entero positivo [math], los números [math] tienen [math] restos distintos al ser
divididos entre [math]. Demuestre que cada entero se encuentra exactamente una
vez en la sucesión.
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Gianni De Rico

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Re: Solo una vez

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Supongamos que hay un número [math] que se repite al menos [math] veces, eso significa que eventualmente ambos aparecerán en [math] para algún [math], ya que la sucesión es infinita. Pero como el resto de dividir a [math] por [math] cuando [math] es [math], entonces habrá dos números de [math] con el mismo resto al dividir por [math]. Absurdo, ya que todos tienen restos distintos.

El absurdo provino de suponer que un número se repetía. Luego, ningún número se repite.


Comentario:
En realidad apenas aparezcan [math] veces los números, como [math], ambos tendrán el mismo resto al dividir por [math],pero me parece que queda más claro explicado de la otra forma.
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3,14

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Re: Solo una vez

Mensaje sin leer por 3,14 »

Me parece que te falta probar que cada número aparece al menos una vez. (Que no aparezca dos veces no significa que aparezca).
2  
[math]
Matías

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Re: Solo una vez

Mensaje sin leer por Matías »

Spoiler: mostrar
Si un número aparecería dos veces en la sucesión, tendríamos que [math] (con [math])
pero tomando [math] tendríamos dos números de la secesión iguales, y por lo tanto con la misma congruencia en módulo [math] (absurdo), por lo tanto cada entero aparece a lo sumo una vez en la sucesión.

Ahora vamos a demostrar que para todo [math] los números [math], [math],... [math] son consecutivos.
Si fuera [math], tendríamos que, viendo los primeros [math] números de la sucesión, [math] (absurdo), por lo tanto [math] (para [math] se cumple).
Ahora, suponiendo que se cumple para [math], llamemos [math] al menor número (entre los primeros [math] términos) y [math] al mayor número.
Si [math] es mayor que los [math] términos anteriores, de ser [math], viendo los primeros [math] términos, tendríamos que [math] (absurdo), por lo tanto debe ser [math].
Y si [math] es menor que los [math] términos anteriores,
de ser [math], viendo los primeros [math] términos, tendríamos que [math] (absurdo), por lo tanto debe ser [math].

Por lo tanto, obtenemos que para [math] también se cumple, entonces tenemos que para todo [math] los [math] primeros términos de la sucesión son consecutivos, y como hay infinitos términos negativos y positivos en la sucesión, concluimos que todo entero aparece exactamente una vez.
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