Ibero 2017 P6

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Gianni De Rico

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Ibero 2017 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sean $n>2$ un entero positivo par y $a_1<a_2<\ldots <a_n$ números reales tales que $a_{k+1}-a_k\leq 1$ para todo $k$ con $1\leq k\leq n-1$. Sea $A$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i<j\leq n$ y $j-i$ par, y sea $B$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i<j\leq n$ y $j-i$ impar. Demostrar que $$\prod\limits_{(i,j)\in A}(a_j-a_i)>\prod\limits_{(i,j)\in B}(a_j-a_i).$$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
jujumas

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Re: Ibero 2017 P6

Mensaje sin leer por jujumas »

Solución:
Spoiler: mostrar
Sea $a_n-a_{n-1}=b_{n-1}$, sustituyendo los $a$ por $b$, tenemos que $b_k \leq 1$ para toko $k$ y queremos demostrar que

$\prod \limits _{(i,j)\in A}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )>\prod \limits _{(i,j)\in B}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )$.

Ahora vamos a demostrar un Lema simple que usaremos repetidas veces durante la solución.

Lema: Sean $x$ e $y$ reales positivos con suma fija $k$ y $x\geq y$, entonces su producto decrece cuando $y$ decrece.

Para ver esto, reemplazamos $y$ por $k-x$. Luego, la cuadrática $x(k-x)=-x^2+kx$ tiene raiz en $0$ y $k$, por lo que obtiene máximo en $\frac{k}{2}$, lo que implica el Lema al ser la cuadrática una parábola cóncava.

Veamos ahora que el lado izquierdo es igual a $\prod \limits _{j-i=2}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right ) \prod \limits _{j-i=4}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right ) \dots \prod \limits _{j-i=n-2}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )$ y que el lado derecho es igual a $\prod b_k \prod \limits _{j-i=3}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right ) \dots \prod \limits _{j-i=n-1}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )$.

Vamos a demostrar entonces que $\prod \limits _{j-i=2x}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )>\prod \limits _{j-i'=2x-1}\left (\sum \limits _{k=i'}^{j} b_k\right )\prod \limits _{j-i''=2x+1}\left (\sum \limits _{k=i''}^{j} b_k\right )$ donde $i'$ son todos los valores pares que toma $i$ y $i''$ todos los valores impares que toma $i$.

Para ver esto, simplemente demostramos que $\left (\sum \limits _{k=2a-1}^{2a-1+2x} b_k\right )\left (\sum \limits _{k=2a}^{2a+2x} b_k\right )>\left (\sum \limits _{k=2a}^{2a+2x-1} b_k\right )\left (\sum \limits _{k=2a}^{2a+2x+1} b_k\right )$, que es trivialmente cierto por el Lema tomando $x=\left (\sum \limits _{k=2a-1}^{2a-1+2x} b_k\right )$ e $y=\left (\sum \limits _{k=2a}^{2a+2x} b_k\right )$, y haciendo crecer el mayor de ellos hasta $\sum \limits _{k=2a}^{2a+2x+1} b_k$ y haciendo decrecer al menor hasta $\sum \limits _{k=2a}^{2a+2x-1} b_k$. Multiplicando todas estas desigualdades, obtenemos lo pedido.

Ahora tenemos que $\prod \limits _{j-i=2x}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )>\prod \limits _{j-i'=2x-1}\left (\sum \limits _{k=i'}^{j} b_k\right )\prod \limits _{j-i''=2x+1}\left (\sum \limits _{k=i''}^{j} b_k\right )$ para todo $x$. Multiplicando todas estas desigualdades al hacer variar $x$, tenemos que $\prod \limits _{j-i=2}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )\prod \limits _{j-i=4}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )\dots \prod \limits _{j-i=n-2}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )>\prod \limits _{k=2m+1}^{n-1} b_k\prod \limits _{j-i=3}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )\dots \prod \limits _{j-i=n-1}\left (\sum \limits _{k=i}^{j} b_k\right )$. Luego, al multiplicar el lado derecho por los términos pares de la sucesión $b_n$, que es un numero menor o igual a $1$ obtenemos la desigualdad pedida, lo que demuestra lo pedido.
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