Pequeña desigualdad

Pequeña desigualdad

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Dom 18 Jun, 2017 3:08 pm

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$
demostrar que
$a/b+b/c+c/a>=a+b+c$
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Re: Pequeña desigualdad

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 18 Jun, 2017 7:00 pm

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El problema puede dividirse en $3$ casos.

Caso $1$: $a=b=c=1$
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Tenemos $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1+1+1=a+b+c$. Funciona.


Caso $2$: $a=1$, $b=\frac{1}{c}$
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Trabajamos la ecuación $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2b}{abc}=a^2c+b^2a+c^2b=c+\frac{1}{c^2}+c=2c+\frac{1}{c^2}=\frac{2c^3+1}{c^2}$. Por otro lado $a+b+c=1+\frac{1}{c}+c=\frac{c^2}{c^2}+\frac{c}{c^2}+\frac{c^3}{c^2}=\frac{c^3+c^2+c}{c^2}$.
Queremos demostrar que $\frac{2c^3+1}{c^2}\geq \frac{c^3+c^2+c}{c^2}\Rightarrow 2c^3+1\geq c^3+c^2+c\Rightarrow c^3+1\geq c^2+c$. Pero esto es conocido que se cumple para cualquier valor de $c$. Entonces estamos.


Caso $3$: $a=\frac{1}{bc}$
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Entonces $b=\frac{1}{ac}$ y $c=\frac{1}{ab}$. Y nos queda $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{ac}{bc}+\frac{ba}{ac}+\frac{cb}{ab}=\frac{1}{bc}ac+\frac{1}{ac}ba+\frac{1}{ab}ca=aac+bba+cca=a^2c+b^2a+c^2b$ es decir, el caso $2$. Funciona.

QED.
Última edición por Gianni De Rico el Dom 18 Jun, 2017 9:06 pm, editado 1 vez en total
$e^{i\pi}+1=0$

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Re: Pequeña desigualdad

UNREAD_POSTpor Matías V5 » Dom 18 Jun, 2017 8:24 pm

Gianni, en el caso 3 parece que usaste que $\frac{a}{bc} = 1$, cuando en realidad al ser $a = \frac{1}{bc}$ lo que queda al hacer esa cuenta es $a^2$.
Es el único caso que miré porque, de hecho, debería englobar a todos los anteriores! Nunca usaste que los números no valgan $1$.
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Re: Pequeña desigualdad

UNREAD_POSTpor Matías V5 » Mar 20 Jun, 2017 2:37 pm

Gianni De Rico escribió:
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Y nos queda $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{ac}{bc}+\frac{ba}{ac}+\frac{cb}{ab}=\frac{1}{bc}ac+\frac{1}{ac}ba+\frac{1}{ab}ca=aac+bba+cca=a^2c+b^2a+c^2b$ es decir, el caso $2$. Funciona.

No, bueno, pero para hacer el caso 2 usaste que $a=1$, cosa que acá no pasa.
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Re: Pequeña desigualdad

UNREAD_POSTpor lucasdeamorin » Mar 20 Jun, 2017 7:33 pm

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Como $a\ y\ b$ son positivos, los podemos escribir como $a=\frac{p}{q}$ y $b=\frac{q}{r}$ con $p,\ q,\ r$ positivos.
Como $abc=1$, $c=\frac{r}{p}$. Entonces:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{pr}{q^2}+\frac{pq}{r^2}+\frac{rq}{p^2}=\frac{prq}{q^3}+\frac{pqr}{r^3}+\frac{rpq}{p^3}=pqr(\frac{1}{q^3}+\frac{1}{r^3}+\frac{1}{p^3})$

$a+b+c=\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}=\frac{rpq}{q^2r}+\frac{rpq}{r^2p}+\frac{rpq}{p^2q}=pqr(\frac{1}{q^2r}\frac{1}{r^2p}+\frac{1}{p^2q})$

Luego, lo que nos pidan probar se reduce a:

$pqr(\frac{1}{q^2r}+\frac{1}{r^2p}+\frac{1}{p^2q})\leq pqr(\frac{1}{q^3}+\frac{1}{r^3}+\frac{1}{p^3})\Leftrightarrow \frac{1}{q^2r}+\frac{1}{r^2p}+\frac{1}{p^2q}\leq \frac{1}{q^3}+\frac{1}{r^3}+\frac{1}{p^3}$

al ser $p,\ q,\ r$ positivos.
No es dificil ver que si $0\leq x\leq y\leq z$, $x^2\leq y^2\leq z^2$. Por lo ue por la desigualdad de reacomodo se cumple la ultima desigualdad.
Si X tiende a $\infty$, $\infty$ se seca.

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Re: Pequeña desigualdad

UNREAD_POSTpor MateoCV » Mar 20 Jun, 2017 7:38 pm

$2^{74207281}-1$ es primo

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