Desigualdad con suma fija

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julianferres_

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Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por julianferres_ »

Sean [math] reales tales que [math].

Probar que [math]
Última edición por julianferres_ el Jue 12 Ene, 2017 1:48 am, editado 2 veces en total.
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Violeta

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Re: Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por Violeta »

Seguro? [math] te da [math] que no es mayor que 125.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
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julianferres_

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Re: Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por julianferres_ »

Ya la cambie, en el foro en donde la saque no estaba resuelta aun y no la había chequeado.
jujumas

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Re: Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por jujumas »

A menos que este haciendo las cosas mal, el valor mínimo que toma la expresión es mucho más alto.
Solución:
Spoiler: mostrar
Vamos a homogeneizar la desigualdad a grado [math] para sacarnos de encima la condición [math].

Nos queda demostrar entonces lo siguiente:

[math].

Expandiendo, esto es:

[math].

Pero esto es igual a:

[math].

Es conocido que la suma entre un real entero positivo y su inverso es mayor a [math] (AM-GM lo demustra en un paso), luego, tenemos que esto último es mayor o igual a:

[math]

Que es mayor a [math], ya que [math] lo es.

No sé si me habré equivocado en algún paso. En el caso contrario, me imagino que la cota que daba el problema es otra.
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Violeta

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Re: Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por Violeta »

jujumas escribió:A menos que este haciendo las cosas mal, el valor mínimo que toma la expresión es mucho más alto.
Solución:
Spoiler: mostrar
Vamos a homogeneizar la desigualdad a grado [math] para sacarnos de encima la condición [math].

Nos queda demostrar entonces lo siguiente:

[math].

Expandiendo, esto es:

[math].

Pero esto es igual a:

[math].

Es conocido que la suma entre un real entero positivo y su inverso es mayor a [math] (AM-GM lo demustra en un paso), luego, tenemos que esto último es mayor o igual a:

[math]

Que es mayor a [math], ya que [math] lo es.

No sé si me habré equivocado en algún paso. En el caso contrario, me imagino que la cota que daba el problema es otra.
Asumo que el problema se supone que fuera [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
jujumas

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Re: Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por jujumas »

Violeta escribió:
jujumas escribió:A menos que este haciendo las cosas mal, el valor mínimo que toma la expresión es mucho más alto.
Solución:
Spoiler: mostrar
Vamos a homogeneizar la desigualdad a grado [math] para sacarnos de encima la condición [math].

Nos queda demostrar entonces lo siguiente:

[math].

Expandiendo, esto es:

[math].

Pero esto es igual a:

[math].

Es conocido que la suma entre un real entero positivo y su inverso es mayor a [math] (AM-GM lo demustra en un paso), luego, tenemos que esto último es mayor o igual a:

[math]

Que es mayor a [math], ya que [math] lo es.

No sé si me habré equivocado en algún paso. En el caso contrario, me imagino que la cota que daba el problema es otra.
Asumo que el problema se supone que fuera [math].
Tiene sentido, ya que en ese caso existe un caso de igualdad, y la desigualdad pasa a ser simétrica en [math] y [math]. Ahora subo una solución a eso.
jujumas

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Re: Desigualdad con suma fija

Mensaje sin leer por jujumas »

Solución:
Spoiler: mostrar
Homogeneizamos la desigualdad a grado [math], reemplazando [math] por [math] donde corresponde.
Tenemos entonces que demostrar que para todo [math] y [math] reales positivos:

[math].

Expandimos los cuadrados y restando 4, nos queda ver que:

[math].

Expandimos los cuadrados, y nos queda que:

[math].

Restando [math], multiplicando por [math], expandiendo y cancelando, esto se reduce a ver que:

[math].

Pero notemos ahora estas tres desigualdades triviales por AM-GM

- [math]

- [math]

- [math].

Sumándolas, conseguimos demostrar lo pedido.
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