Iberoamericana 2016 P2

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Matías V5

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Iberoamericana 2016 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Encuentre todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones:
[math]
[math]
[math]
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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MateoCV

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Re: Iberoamericana 2016 P2

Mensaje sin leer por MateoCV »

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Supongamos que [math], como [math] entonces [math], que es lo mismo que [math], de donde tenemos una desigualdad cuadrática, y tenemos que [math] al ser positivo.
Como [math] de forma similar llegamos a la desigualdad cuadrática [math], de de donde tenemos que o bien [math] o bien [math], y al se positivo se cumple la segunda desigualdad.
Luego como [math] haciendo el mismo razonamiento que al principio tenemos que [math]. Abusrdo. Luego [math]
Supongamos que [math] haciendo los mismos razonamientos que antes tenemos que [math]. Absurdo. Luego [math]
Reemplazando en la primer ecuación tenemos una cuadrática de soluciones [math], [math], al ser positivo la segunda vale y análogamente [math]. Luego [math] es la única solución y es fácil ver que verifica
5  
$2^{82589933}-1$ es primo
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Emerson Soriano

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Re: Iberoamericana 2016 P2

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Spoiler: mostrar
Si al menos un par entre [math], [math], [math] son iguales, entonces [math]. En efecto, supongamos sin pérdida de generalidad que [math], entonces
[math]

pero como [math], [math], [math] son reales positivos, entonces [math] y por ende [math]. Concluimos que en este caso las únicas ternas que cumple es [math].

Analizaremos ahora cuando los tres son distintos entre sí, y supongamos sin pérdida de generalidad que [math]. Es claro que en este caso ninguno de las tres variables es igual a [math]. Transformando las ecuaciones, tenemos que
[math]

Multiplicando estas ecuaciones y simplificando el factor [math] (pues esto no puede ser [math]), nos queda que [math], ya que [math], [math], [math] son reales positivos. Es claro que [math], pues de lo contrario entonces [math] y por ende [math], lo cual es absurdo. Análogamente, es fácil notar que [math], pues de lo contrario [math], y por ende [math], lo cual es absurdo.

Como [math] y [math], entonces [math], es decir, [math] y por ende [math]. Como [math] y [math], entonces [math], es decir, [math], y por ende [math]. Pero esto es un absurdo, pues ya vimos que [math].
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