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Supongamos que [math]x>1, como [math]x(y^2+y-1)=1 entonces [math]y^2+y-1<1, que es lo mismo que [math]y^2+y-2<0, de donde tenemos una desigualdad cuadrática, y tenemos que [math]-2<y<1 \Rightarrow 0<y<1 al ser positivo.
Como [math]y<1 de forma similar llegamos a la desigualdad cuadrática [math]z^2+z-2>0, de de donde tenemos que o bien [math]z<-2 o bien [math]z>1, y al se positivo se cumple la segunda desigualdad.
Luego como [math]z>1 haciendo el mismo razonamiento que al principio tenemos que [math]x<1. Abusrdo. Luego [math]x\leq 1
Supongamos que [math]x<1 haciendo los mismos razonamientos que antes tenemos que [math]x<1 \Rightarrow y>1 \Rightarrow z<1 \Rightarrow x>1. Absurdo. Luego [math]x=1
Reemplazando en la primer ecuación tenemos una cuadrática de soluciones [math]y=-2, [math]y=1, al ser positivo la segunda vale y análogamente [math]z=1. Luego [math]x=y=z=1 es la única solución y es fácil ver que verifica
Si al menos un par entre [math]x, [math]y, [math]z son iguales, entonces [math]x=y=z=1. En efecto, supongamos sin pérdida de generalidad que [math]x=y, entonces
pero como [math]x, [math]y, [math]z son reales positivos, entonces [math]x=y=1 y por ende [math]z=1. Concluimos que en este caso las únicas ternas que cumple es [math](1, 1, 1).
Analizaremos ahora cuando los tres son distintos entre sí, y supongamos sin pérdida de generalidad que [math]x>y>z. Es claro que en este caso ninguno de las tres variables es igual a [math]1. Transformando las ecuaciones, tenemos que
Multiplicando estas ecuaciones y simplificando el factor [math](x+1)(y+1)(z+1) (pues esto no puede ser [math]0), nos queda que [math]xyz=1, ya que [math]x, [math]y, [math]z son reales positivos. Es claro que [math]x>1, pues de lo contrario entonces [math]1<x<y<z y por ende [math]xyz<1, lo cual es absurdo. Análogamente, es fácil notar que [math]z<1, pues de lo contrario [math]x>y>z>1, y por ende [math]xyz>1, lo cual es absurdo.
Como [math]x>1 y [math]x(y^{2}+y-1)=1, entonces [math]y^{2}+y-1<1, es decir, [math](z+2)(z-1)<0 y por ende [math]y<1. Como [math]y<1 y [math]y(z^{2}+z-1)=1, entonces [math]z^{2}+z-1>1, es decir, [math](z+2)(z-1)>0, y por ende [math]z>1. Pero esto es un absurdo, pues ya vimos que [math]z<1.