Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

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MateoCV

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Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por MateoCV » Sab 30 Jul, 2016 2:17 pm

Si [math] y [math] son todos polinomios tales que
[math]
probar que [math] es un factor de [math]
$2^{77232917}-1$ es primo

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Julian_Ferres

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Re: Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Sab 30 Jul, 2016 2:49 pm

Es de la USAMO del 76

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Julian_Ferres

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Re: Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Sab 30 Jul, 2016 3:33 pm

Creo que esta sol esta muy buena:
Spoiler: mostrar
Consideremos como [math] a una de las [math] raíces quintas de la unidad ([math])

Es sabido que [math] aunque no lo vamos a usar.

Notemos que [math] para [math], luego podemos escribirla como [math] de donde se deduce que [math] cuando [math]

Evaluamos [math] en [math] y [math] (con [math]) y usamos que [math] para tener el sistema de ecuaciones

[math]
[math]
[math]

Restando la [math] por la tercera menos la primera tengo que [math] y esto implica claramente que [math] esto me dice que [math] (Llamó (1) a esta ecuación)

Restando la segunda menos la primera por [math] tengo que [math] y esto
me dice que [math] (Llamó (2) a esta ecuación)

Resto (1) menos (2) por [math] para obtener: [math] y sacando factor comun [math] tengo:

[math] pero ninguna de las raices quintas de la unidad anula el segundo factor, luego [math] y estamos.
Última edición por Julian_Ferres el Lun 01 Ago, 2016 8:19 pm, editado 1 vez en total.
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fleschler.ian

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Re: Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por fleschler.ian » Dom 31 Jul, 2016 5:36 pm

Julian_Ferres escribió: [math]
Juli, cuando evaluas en [math] no te queda eso. Como es una raiz quinta de la unidad [math], es decir te queda [math].
La idea debe de andar igual arreglando las cuentitas.

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Julian_Ferres

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Re: Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Lun 01 Ago, 2016 7:57 pm

Ahi corrijo!

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Chino2000

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Re: Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por Chino2000 » Mar 20 Feb, 2018 3:02 pm

Julian_Ferres escribió:
Sab 30 Jul, 2016 3:33 pm

$P(1)+zQ(1)+z^2R(1)=0$
$P(1)+z^2Q(1)+z^4R(1)=0$
$P(1)+z^3Q(1)+zR(1)=0$

Restando la $z$ por la tercera menos la primera tengo que $0=(z-1)P(1)+(z^4-z)Q(1)$ y esto implica claramente que $(z-1)(P(1)+(z^3+z^2+z)Q(1))=0$ esto me dice que $P(1)+(z^3+z^2+z)Q(1)=0$ (Llamó (1) a esta ecuación)

Restando la segunda menos la primera por $z^2$ tengo que $0=(1-z^2)P(1)+(z^2-z^3)Q(1)=(1-z)((1+z)P(1)+z^2Q(1))$ y esto
me dice que $(1+z)P(1)+z^2Q(1)=0$ (Llamó (2) a esta ecuación)

Resto (1) menos (2) por $(z^4+z+1)$ para obtener: $P(1)-(1+z)(z^4+z+1)P(1)=0$ y sacando factor comun $P(1)$ tengo:

$P(1)(1-(z^4+2z+2+z^2))=0$ pero ninguna de las raices quintas de la unidad anula el segundo factor, luego $P(1)=0$ y estamos.
@Julian_Ferres Creo que una salida mas directa y elegante es evaluar tambien en $z^4$ y en $1$, quedando $P(1)+z^4Q(1)+z^3R(1)=0$
$P(1)+Q(1)+R(1)=0$, sumamos todo y nos queda $5P(1)+(z+z^2+z^3+z^4+1)(Q(1)+R(1))=0$, luego $5P(1)=0$ ===> $P(1)=0$

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Violeta

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Re: Preselectivo Córdoba Ibero 2016 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 20 Feb, 2018 8:39 pm

Si evaluas en $1$, te da $P(1) + Q(1) + R(1) = 5S(1)$, no $P(1) + Q(1) + R(1) = 0$
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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