P10 - Nivel 3 - Fase Ugel Perú 2015

[Emerson Soriano]

Sean [math]x,\: y,\: z ángulos agudos tales que:

[math]4\left [\text{sen}(x+y)\:\text{sen}(y+z)\:\text{sen}(z+x)+1 \right ]=\left ( \text{sen}(x+y)+1 \right )\left ( \text{sen}(y+z)+1 \right )\left ( \text{sen}(z+x)+1 \right )

Hallar el máximo valor que puede tomar la expresión:

[math]100\left ( \text{sen}x +\text{sen}y +\text{sen}z \right )^{2}

[enigma1234]

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Sean $a=\text{sen}(x+y), b=\text{sen}(y+z), c=\text{sen}(z+x)$ entonces claramente como los ángulos son agudos $0<a,b,c\leq 1$ y tenemos que:
$$4(abc+1)=(a+1)(b+1)(c+1)$$
Veamos que pasa si hay 2 entre $a,b,c$ distintos a $1$ sin pérdida de generalidad $a,b\neq 1$.
$$\to 3abc+3=ab+bc+ca+a+b+c$$
$$\to c(1+a+b-3ab)=3-a-b-ab$$
Como $0<a,b<1\to 1>ab,a>ab,b>ab\to 1+a+b-3ab>0$
$$\to 3-a-b-ab=c(1+a+b-3ab)\leq 1+a+b-3ab$$
$$\to 2ab-2a-2b+2=2(1-a)(1-b)\leq 0$$
Como $a,b<1$ esto es una contradicción.
Entonces hay 2 iguales a 1,digamos $a=b=1$ entonces claramente cumple la ecuación y entonces $c$ puede tomar cualquier valor .
Como $a=b=1$ y los angulos son agudos $\to x+y=y+z=90^{\circ}$
$$\to x=z=90^{\circ}-y$$
Por Cauchy:
$$ 100\left ( \text{sen}x +\text{sen}y +\text{sen}z \right )^{2}=100\left ( 2\text{cos}y +\text{sen}y \right )^{2}\leq 100\left ( \text{cos}y^2 +\text{sen}y^2 \right )(4+1)=500$$