Problema 1, Primer Selectivo Perú - Cono Sur 2008

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emersorp
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Problema 1, Primer Selectivo Perú - Cono Sur 2008

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¿Cuál es el menor grado que puede tener un polinomio [math] con coeficientes reales si se cumple que:

[math] y [math] ?
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Matías V5

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Re: Problema 1, Primer Selectivo Perú - Cono Sur 2008

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Obviamente el polinomio debe tener grado mayor o igual que [math] pues no es constante.
Veamos que no puede ser [math]: si así lo fuera, [math] sería estrictamente creciente o estrictamente decreciente (es una recta). Si es estrictamente creciente, entonces [math], pero sin embargo [math], absurdo. Análogamente, si es estrictamente decreciente, es [math], pero [math], otra vez contradicción. Entonces [math] no tiene grado [math].
Ahora, notemos que si nuestro [math] cumple que [math], [math] y [math], se satisfacen automáticamente todas las condiciones. Busquemos un polinomio de grado [math] que cumpla eso. Si [math], tenemos las ecucaciones
[math]
[math]
[math].
Este sistema de ecuaciones tiene solución, y es [math], [math], [math]. Por lo tanto, el mínimo grado que puede tener [math] es [math]. [math]
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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