Polinomios Ciclotómicos

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Nacho

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Polinomios Ciclotómicos

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Definimos al [math]-ésimo polinomio ciclotómico para cualquier entero positivo [math] como el polinomio mónico [math] que tiene como raíces a las raíces primitivas [math]-ésimas de la unidad
[math]

Notemos que como hay [math] raíces primitivas [math]-ésimas de la unidad el grado de [math] es [math].

Propiedad 1: [math]

Demostración:

Las raíces del polinomio del lado izquierdo son las raíces [math]-ésimas de la unidad. Ahora, si [math] es una raíz primitiva [math]-ésima de la unidad es una raíz de [math]. Pero [math], entonces existe [math] tal que [math] y así [math], y es raíz del polinomio del lado izquierdo. Como tienen las mismas raíces y son mónicos, por factorización única de polinomios estamos. [math]

Propiedad 2: [math]

Demostración:

Se sigue de aplicar logaritmo a ambos lados sobre la fórmula de la propiedad 1, luego la Fórmula de Inversión de Möbius y deshacer el logaritmo. [math]

Observación: [math] es un polinomio con coeficientes enteros. Es decir, [math].

Lema 1: Sea [math] un primo. Si [math] tiene raíz doble módulo [math], es decir, existe un entero [math] y un polinomio [math] tal que [math] Luego, [math].

Demostración (No elemental):

Derivamos a ambos lados. [math]. Si lo evaluamos en [math], se sigue que [math]. Como es claro que [math] se sigue que [math]. [math]

Lema 2:

Sea [math] un entero positivo, [math] un divisor de [math] y [math] un entero. Supongamos que [math] primo es un divisor de [math] y de [math]. Luego, [math].

Demostración:

Por la propiedad 1, [math]. Luego, [math], de donde [math] y así el polinomio [math] tiene raíz doble en [math] módulo [math]. En virtud del lema 1 estamos. [math]

Teorema 1:

Sea [math] un entero positivo, [math] un primo y [math] un entero. Supongamos que [math] entonces [math] ó [math].

Demostración:

Notemos que [math] pues [math]. De [math] se sigue que [math]. Luego, si [math], tenemos que [math].

Si [math] tenemos que [math] por Pequeño Teorema de Fermat. Es decir, [math].

Si [math] luego, [math]. Luego, como [math] es primo, se sigue que existe algún [math] tal que [math]. Pero [math] y [math], entonces, en virtud del lema 2, [math].

Y estamos. [math]

Corolario interesante: Sea [math] un primo y [math] un entero. Todo divisor primo [math] de [math] es de la forma [math] ó [math].

Demostración:

Notemos que [math].
Luego, si [math], tenemos por el Teorema 1 lo que queríamos. [math]


Antes de seguir con más propiedades, podemos resolver un problema, para ilustrar la magia:

Ejercicio 1: (IMO Shortlist 2006 N5) Demostrar que [math] no tiene soluciones con [math] enteros.

Solución:

Vamos a reescribir lo que tenemos como [math].

Notemos por el Teorema 1 (o más bien su corolario) que si [math] entonces [math]. Luego, como [math] es un divisor, se sigue que [math] dando dos casos posibles [math]. Pero notemos que [math] es un divisor tambien. Pero como [math] se sigue que [math]. Absurdo. La ecuación no tiene soluciones enteras. [math]

Problema:

Determinar todos los enteros positivos [math] para los cuales existe algún entero [math] tal que [math] divide a [math].

http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=11&t=858&p=2846

Fuente:
http://www.yimin-ge.com/doc/cyclotomic_polynomials.pdf
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Re: Polinomios Ciclotómicos

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Una duda:

Que significa que un polinomio tenga raiz doble modulo p?
Veo que el concepto de raiz doble es el mismo que en polinomios en general (sin mirar modulo p). Pero las raices de [math] son las n-esimas raices de la unidad, que en su mayoria son complejas. Quiere esto decir que existen dos raices [math] y [math] con [math] tales que [math] ?
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Nacho

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Re: Polinomios Ciclotómicos

Mensaje sin leer por Nacho »

Los polinomios son funciones de la forma [math], con los coeficientes [math] en algún cuerpo, es decir, una estructura como la de los racionales, los reales o los complejos (para no ser muy específicos con esas nociones). Lo que pasa, es que [math] (cuando [math] es primo) tiene esa misma estructura de cuerpo. Entonces, también tiene sentido mirar polinomios en [math] (es decir, con los coeficientes en [math] y que cuando los sumes y multipliques se comporten como elementos de [math], por ejemplo [math] en [math] sería [math]).

Ahora, cuando trabajamos con polinomios en [math] (como es usual) sabemos que cuando [math] es raíz de un polinomio [math], existe un polinomio [math] tal que [math] (Algoritmo de división). La idea de ser raíz "módulo p" es básicamente lo mismo, sólo que mirando a los coeficientes como elementos de[math]. Es decir, [math] es raíz de un polinomio [math] con coeficientes en [math] si [math] para algún polinomio [math] con coeficientes en [math] (con la suma y multiplicación como antes).

Entonces, la idea de que [math] es raíz doble "módulo p" de [math] quiere decir que mirando todos los polinomios en [math] vamos a tener que [math] para algún polinomio [math]. O sea, es la misma idea que usás habitualmente, sólo que mirando a los polinomios en [math].

Espero que haya quedado más claro, cualquier cosa preguntá
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Re: Polinomios Ciclotómicos

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Spoiler: mostrar
Entonces [math], y de esta froma [math]
Muy buena explicacion! gracias!
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